Cono

Il cono nasce dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto. Oltre alle formule di volume e superficie, ne studiamo lo sviluppo piano — un settore circolare — e l’angolo di sviluppo, con un esempio numerico.

• Volume e superficie del cono
• Sviluppo piano del cono
• Angolo di sviluppo del cono

The cone arises from the rotation of a right triangle about one of its legs. Besides the formulas for volume and surface area, we study its planar development — a circular sector — and its development angle, with a numerical example.

• Volume and surface area of the cone
• Planar development of the cone
• Development angle of the cone

Il cono retto è il secondo solido di rotazione: si genera ruotando un triangolo rettangolo attorno a un cateto.

Proprietà — Cono retto

Cono retto (dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto): raggio di base $r$, altezza $h$, apotema $\ell = \sqrt{r^2+h^2}$ (l’ipotenusa del triangolo).

• $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$
• $S_{\text{lat}} = \pi r\ell$
• $S_{\text{tot}} = \pi r(r+\ell)$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Apotema · Cono · Solidi di rotazione · Superficie · Volume
Competenze: Usare formule

The right cone is the second solid of revolution: it is generated by rotating a right triangle about one of its legs.

Property — Right cone

Right cone (from the rotation of a right triangle about a leg): base radius $r$, height $h$, slant height $\ell = \sqrt{r^2+h^2}$ (the hypotenuse of the triangle).

• $V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h$
• $S_{\text{lat}} = \pi r\ell$
• $S_{\text{tot}} = \pi r(r+\ell)$

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Apothem · Cone · Solids of revolution · Surface area · Volume
Skills: Using formulas

“Srotolando” la superficie laterale del cono si ottiene una figura piana notevole: un settore circolare.

Proprietà — Sviluppo piano del cono

Se si “taglia” il cono lungo l’apotema e lo si “srotola”, si ottiene un settore circolare di raggio $\ell$ e arco $2\pi r$. L’angolo al centro di questo settore è $\beta = \frac{2\pi r}{\ell} \text{ rad} = \frac{360°\cdot r}{\ell}.$

A sinistra il cono con raggio $r$, altezza $h$ e apotema $\ell$; a destra il suo sviluppo piano, un settore circolare di raggio $\ell$ e angolo al centro $\beta$.

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cono · Settore circolare · Sviluppo piano
Competenze: Usare formule

By “unrolling” the lateral surface of the cone we obtain a notable plane figure: a circular sector.

Property — Planar development of the cone

If the cone is “cut” along the slant height and “unrolled”, we obtain a circular sector of radius $\ell$ and arc $2\pi r$. The central angle of this sector is $\beta = \frac{2\pi r}{\ell} \text{ rad} = \frac{360°\cdot r}{\ell}.$

On the left the cone with radius $r$, height $h$ and slant height $\ell$; on the right its planar development, a circular sector of radius $\ell$ and central angle $\beta$.

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Cone · Circular sector · Planar development
Skills: Using formulas

Un esempio numerico riassume il calcolo dell’apotema, del volume, della superficie laterale e dell’angolo di sviluppo di un cono.

Esempio — Cono: calcolo dell'angolo di sviluppo

Cono con raggio $r=3$ e altezza $h=4$. Apotema: $\ell=\sqrt{9+16}=5.$ Angolo di sviluppo: $\beta = 360°\cdot \tfrac{3}{5} = 216°.$ Inoltre $V = \tfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4 = 12\pi, \qquad S_{\text{lat}} = \pi\cdot 3\cdot 5 = 15\pi.$

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cono · Settore circolare · Sviluppo piano
Competenze: Calcolare · Usare formule

A numerical example sums up the calculation of the slant height, the volume, the lateral surface area and the development angle of a cone.

Example — Cone: calculating the development angle

Cone with radius $r=3$ and height $h=4$. Slant height: $\ell=\sqrt{9+16}=5.$ Development angle: $\beta = 360°\cdot \tfrac{3}{5} = 216°.$ Moreover $V = \tfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4 = 12\pi, \qquad S_{\text{lat}} = \pi\cdot 3\cdot 5 = 15\pi.$

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Cone · Circular sector · Planar development
Skills: Calculating · Using formulas