Sistemi simmetrici

Le formule di Vieta trovano la loro applicazione naturale nei sistemi simmetrici: sistemi in cui le incognite $x$ e $y$ compaiono in modo “intercambiabile”, cioè scambiando $x$ con $y$ il sistema non cambia. Introducendo la somma $S=x+y$ e il prodotto $P=xy$ come nuove incognite, questi sistemi si risolvono in modo elegante e rapido.

• Il metodo somma-prodotto
• Identità utili con somma e prodotto
• Esempio di sistema simmetrico

Vieta’s formulas find their natural application in symmetric systems: systems in which the unknowns $x$ and $y$ appear “interchangeably”, that is, swapping $x$ with $y$ does not change the system. By introducing the sum $S=x+y$ and the product $P=xy$ as new unknowns, these systems are solved elegantly and quickly.

• The sum-product method
• Useful identities with sum and product
• Example of a symmetric system

Un sistema si dice simmetrico quando le incognite $x$ e $y$ compaiono in modo intercambiabile: scambiando $x$ con $y$ il sistema resta identico. In questi casi conviene cambiare incognite, passando alla somma $S=x+y$ e al prodotto $P=xy$.

Proprietà — Sostituzione somma-prodotto

Quando un sistema coinvolge le incognite $x,y$ solo tramite la loro somma $S=x+y$ e il loro prodotto $P=xy$, si sostituiscono $S$ e $P$, si risolve, e poi si recuperano $x,y$ dall’equazione: $t^2-St+P=0.$

L’equazione $t^2-St+P=0$ è proprio quella che ha $x$ e $y$ come soluzioni: lo si vede dalle formule di Vieta, dato che la somma delle sue radici è $S$ e il prodotto è $P$.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Sistema simmetrico · Somma e prodotto radici
Metodi: Somma prodotto radici
Competenze: Risolvere sistemi

A system is said to be symmetric when the unknowns $x$ and $y$ appear interchangeably: swapping $x$ with $y$ leaves the system unchanged. In these cases it is convenient to change unknowns, passing to the sum $S=x+y$ and the product $P=xy$.

Property — Sum-product substitution

When a system involves the unknowns $x,y$ only through their sum $S=x+y$ and their product $P=xy$, one substitutes $S$ and $P$, solves, and then recovers $x,y$ from the equation: $t^2-St+P=0.$

The equation $t^2-St+P=0$ is precisely the one that has $x$ and $y$ as its solutions: this is seen from Vieta’s formulas, since the sum of its roots is $S$ and the product is $P$.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Symmetric system · Sum and product of the roots
Methods: Sum and product of the roots
Skills: Solving systems

Molte espressioni simmetriche in $x$ e $y$ si riscrivono in funzione della somma $S=x+y$ e del prodotto $P=xy$. Averle a portata di mano velocizza la risoluzione dei sistemi simmetrici.

Osservazione — Identità utili

$x^2+y^2 = S^2-2P, \qquad x^3+y^3 = S^3-3SP.$

Grazie a queste identità, anche le equazioni che a prima vista sembrano contenere potenze delle incognite si trasformano in equazioni nelle sole $S$ e $P$.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Identita algebriche · Sistema simmetrico
Competenze: Usare formule

Many symmetric expressions in $x$ and $y$ can be rewritten in terms of the sum $S=x+y$ and the product $P=xy$. Having them to hand speeds up the solving of symmetric systems.

Observation — Useful identities

$x^2+y^2 = S^2-2P, \qquad x^3+y^3 = S^3-3SP.$

Thanks to these identities, even equations that at first sight seem to contain powers of the unknowns turn into equations in $S$ and $P$ alone.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Algebraic identities · Symmetric system
Skills: Using formulas

Vediamo il metodo somma-prodotto all’opera su un sistema fratto e simmetrico.

Esempio

$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{12}{35} \\[6pt] \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{74}{35} \end{cases} \qquad\text{C.E.: } x\neq 0,\, y\neq 0.$ La prima equazione dà $\dfrac{S}{P}=\dfrac{12}{35}$; la seconda $\dfrac{S^2-2P}{P}=\dfrac{74}{35}$.

Dalla prima: $P=\dfrac{35S}{12}$. Sostituendo nella seconda: $35S^2 - 144P = 0 \implies 35S^2-144\cdot\frac{35S}{12}=0 \implies 35S(S-12)=0.$ $S=0$ non è accettabile (C.E.), dunque $S=12$, $P=35$. $t^2-12t+35=0 \implies (t-7)(t-5)=0 \implies \boxed{(x,y)=(7,5) \text{ o } (5,7)}$

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Sistema simmetrico · Somma e prodotto radici
Metodi: Somma prodotto radici
Competenze: Risolvere sistemi

Let us see the sum-product method at work on a fractional and symmetric system.

Example

$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{12}{35} \\[6pt] \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{74}{35} \end{cases} \qquad\text{Existence conditions: } x\neq 0,\, y\neq 0.$ The first equation gives $\dfrac{S}{P}=\dfrac{12}{35}$; the second $\dfrac{S^2-2P}{P}=\dfrac{74}{35}$.

From the first: $P=\dfrac{35S}{12}$. Substituting into the second: $35S^2 - 144P = 0 \implies 35S^2-144\cdot\frac{35S}{12}=0 \implies 35S(S-12)=0.$ $S=0$ is not acceptable (existence conditions), hence $S=12$, $P=35$. $t^2-12t+35=0 \implies (t-7)(t-5)=0 \implies \boxed{(x,y)=(7,5) \text{ or } (5,7)}$

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Methods: Sum and product of the roots
Skills: Solving systems