Funzioni inverse: arcsen, arccos, arctan

Seno, coseno e tangente non sono iniettive su tutto il loro dominio, perché periodiche: per definirne un’inversa bisogna restringerle a un intervallo su cui siano biunivoche. Nascono così $\arcsin,\arccos,\arctan$, che restituiscono un angolo a partire da un valore. Sono indispensabili ogni volta che va calcolato un angolo da un rapporto, dall’inclinazione di una retta agli angoli di elevazione e di rifrazione.

• Perché servono le funzioni inverse
• Grafici di arcsen, arccos e arctan
• arctan e il coefficiente angolare
• Esempi applicativi delle inverse
• Derivate delle inverse goniometriche

Sine, cosine and tangent are not injective over their whole domain, because they are periodic: to define an inverse we must restrict them to an interval on which they are bijective. This is how $\arcsin,\arccos,\arctan$ arise, returning an angle from a value. They are indispensable whenever an angle must be computed from a ratio, from the inclination of a line to angles of elevation and of refraction.

• Why the inverse functions are needed
• Graphs of arcsin, arccos and arctan
• arctan and the gradient
• Worked examples of the inverses
• Derivatives of the inverse trigonometric functions

Seno, coseno e tangente non sono iniettive su tutto il loro dominio (sono periodiche), quindi non hanno inverse nel senso stretto. Per definirne un’inversa bisogna restringerle a un intervallo su cui siano iniettive.

Definizione — Le funzioni goniometriche inverse

• Restringendo $\sin$ a $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ si ottiene una funzione biunivoca con $[-1,1]$. La sua inversa è $\arcsin:[-1,1]\to\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$.
• Restringendo $\cos$ a $[0,\pi]$ si ottiene una funzione biunivoca con $[-1,1]$. La sua inversa è $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$.
• Restringendo $\tan$ a $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$ si ottiene una funzione biunivoca con $\mathbb{R}$. La sua inversa è $\arctan:\mathbb{R}\to\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$.

Ciascuna inversa restituisce l’angolo (nell’intervallo scelto) il cui seno, coseno o tangente vale il numero dato.

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Sine, cosine and tangent are not injective over their whole domain (they are periodic), so they have no inverses in the strict sense. To define an inverse we must restrict them to an interval on which they are injective.

Definition — The inverse trigonometric functions

• Restricting $\sin$ to $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$ gives a bijection with $[-1,1]$. Its inverse is $\arcsin:[-1,1]\to\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$.
• Restricting $\cos$ to $[0,\pi]$ gives a bijection with $[-1,1]$. Its inverse is $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$.
• Restricting $\tan$ to $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$ gives a bijection with $\mathbb{R}$. Its inverse is $\arctan:\mathbb{R}\to\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$.

Each inverse returns the angle (in the chosen interval) whose sine, cosine or tangent equals the given number.

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I grafici delle tre inverse si ottengono ribaltando quelli delle funzioni ristrette rispetto alla bisettrice $y=x$.

$\arcsin$ è definito in $[-1,1]$ con immagine $[-\pi/2,\pi/2]$, ed è monotona crescente.

$\arccos$ è definito in $[-1,1]$ con immagine $[0,\pi]$, ed è monotona decrescente.

$\arctan$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ con immagine $(-\pi/2,\pi/2)$ e ha gli asintoti orizzontali $y=\pm\pi/2$.

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The graphs of the three inverses are obtained by reflecting those of the restricted functions about the bisector $y=x$.

$\arcsin$ is defined on $[-1,1]$ with range $[-\pi/2,\pi/2]$, and is monotonically increasing.

$\arccos$ is defined on $[-1,1]$ with range $[0,\pi]$, and is monotonically decreasing.

$\arctan$ is defined on the whole of $\mathbb{R}$ with range $(-\pi/2,\pi/2)$ and has the horizontal asymptotes $y=\pm\pi/2$.

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Osservazione — Il ruolo di arctan in geometria analitica

Il coefficiente angolare di una retta $y=mx+q$ è legato al suo angolo di inclinazione $\theta$ con l’asse $x$ dalla relazione $m = \tan\theta$, da cui $\theta = \arctan m$. È grazie a questa relazione che possiamo parlare di “angolo tra due rette” a partire dai loro coefficienti angolari.

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Remark — The role of arctan in coordinate geometry

The gradient of a line $y=mx+q$ is related to its angle of inclination $\theta$ with the $x$-axis by the relation $m = \tan\theta$, whence $\theta = \arctan m$. It is thanks to this relation that we can speak of the “angle between two lines” starting from their gradients.

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Le funzioni inverse goniometriche compaiono ovunque vada calcolato un angolo a partire da un rapporto. Tre esempi tipici.

Esempio 1 — Angolo di elevazione

Un osservatore vede la cima di una torre di altezza $h=30$ m, da distanza orizzontale $d=50$ m. L’angolo di elevazione $\theta$ rispetto al suolo soddisfa: $\tan\theta = \frac{h}{d} = \frac{30}{50} = 0{,}6 \;\Rightarrow\; \theta = \arctan(0{,}6) \approx 30{,}96°.$ A distanza $d=10$ m: $\theta = \arctan 3 \approx 71{,}57°$. Avvicinandosi alla torre, l’angolo cresce verso $90°$ (asintoto verticale di $\tan$).

Esempio 2 — Angolo tra due rette

Date $r: y = 2x+1$ e $s: y = -\tfrac12 x + 3$, con coefficienti angolari $m_1=2$, $m_2=-1/2$. Poiché $m_1 m_2 = -1$, le rette sono perpendicolari (angolo $90°$). In generale l’angolo $\alpha$ tra due rette si ottiene da $\tan\alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1 m_2},\qquad \alpha = \arctan\!\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right).$ Se $1+m_1m_2 = 0$ il denominatore si annulla e l’angolo è $\pi/2$ (perpendicolarità).

Esempio 3 — Rifrazione (cenno)

La legge di Snell lega l’angolo di incidenza $\theta_i$ e di rifrazione $\theta_r$ all’indice $n$: $\sin\theta_i = n\sin\theta_r$. Conoscendo $\theta_i$ e $n$, l’angolo rifratto è $\theta_r = \arcsin\!\left(\sin\theta_i/n\right)$. Per acqua-aria $n=1{,}33$ e $\theta_i=45°$: $\theta_r = \arcsin(0{,}531) \approx 32{,}1°$.

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The inverse trigonometric functions crop up wherever an angle must be computed from a ratio. Three typical examples.

Example 1 — Angle of elevation

An observer sees the top of a tower of height $h=30$ m, from a horizontal distance $d=50$ m. The angle of elevation $\theta$ with respect to the ground satisfies: $\tan\theta = \frac{h}{d} = \frac{30}{50} = 0{,}6 \;\Rightarrow\; \theta = \arctan(0{,}6) \approx 30{,}96°.$ At distance $d=10$ m: $\theta = \arctan 3 \approx 71{,}57°$. As one approaches the tower, the angle grows towards $90°$ (vertical asymptote of $\tan$).

Example 2 — Angle between two lines

Given $r: y = 2x+1$ and $s: y = -\tfrac12 x + 3$, with gradients $m_1=2$, $m_2=-1/2$. Since $m_1 m_2 = -1$, the lines are perpendicular (angle $90°$). In general the angle $\alpha$ between two lines is obtained from $\tan\alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1 m_2},\qquad \alpha = \arctan\!\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right).$ If $1+m_1m_2 = 0$ the denominator vanishes and the angle is $\pi/2$ (perpendicularity).

Example 3 — Refraction (an outline)

Snell’s law relates the angle of incidence $\theta_i$ and of refraction $\theta_r$ to the index $n$: $\sin\theta_i = n\sin\theta_r$. Knowing $\theta_i$ and $n$, the refracted angle is $\theta_r = \arcsin\!\left(\sin\theta_i/n\right)$. For water-air $n=1{,}33$ and $\theta_i=45°$: $\theta_r = \arcsin(0{,}531) \approx 32{,}1°$.

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Osservazione — Anticipazione: derivate delle inverse goniometriche (5ª)

In Quinta vedremo che le inverse goniometriche hanno derivate molto eleganti, che si ricavano dal teorema della derivata della funzione inversa: $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}.$ Come conseguenza importante per gli integrali: $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C.$ Quindi $\arctan$ e $\arcsin$ “rispondono” a integrali che apparirebbero altrimenti misteriosi. Sono al cuore di tante sostituzioni trigonometriche dell’analisi.

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Remark — A look ahead: derivatives of the inverse trigonometric functions (Year 5)

In Year 5 we shall see that the inverse trigonometric functions have very elegant derivatives, which are derived from the theorem on the derivative of the inverse function: $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}.$ As an important consequence for integrals: $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C.$ So $\arctan$ and $\arcsin$ “answer” integrals that would otherwise look mysterious. They are at the heart of many trigonometric substitutions in analysis.

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