Esercizi — Equazioni differenziali

Tutti gli esercizi svolti del capitolo: equazioni a variabili separabili, lineari del primo e del secondo ordine, e problemi fisici di modellizzazione (caduta con resistenza dell’aria, raffreddamento, pressione atmosferica).

• y’ = 3y con y(0)=2
• y’ = −2xy (la gaussiana)
• y’ − y = eˣ
• y” + 9y = 0 con condizioni iniziali
• Caduta con resistenza dell’aria
• Raffreddamento di una tazza di tè
• Altitudine e pressione atmosferica

All the worked exercises of the chapter: separable equations, first- and second-order linear equations, and physical modelling problems (fall with air resistance, cooling, atmospheric pressure).

• y’ = 3y with y(0)=2
• y’ = −2xy (the Gaussian)
• y’ − y = eˣ
• y” + 9y = 0 with initial conditions
• Fall with air resistance
• Cooling of a cup of tea
• Altitude and atmospheric pressure

Testo

Risolvere $y'=3y$ con la condizione iniziale $y(0)=2$.

Soluzione

È a variabili separabili: $\dfrac{dy}{y} = 3\,dx$. Integrando: $\ln|y| = 3x + C$, da cui $y = Ae^{3x}$. La condizione $y(0)=2$ dà $A=2$, quindi: $\boxed{y(x) = 2e^{3x}}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Crescita esponenziale · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione

Problem

Solve $y'=3y$ with the initial condition $y(0)=2$.

Solution

It is separable: $\dfrac{dy}{y} = 3\,dx$. Integrating: $\ln|y| = 3x + C$, from which $y = Ae^{3x}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, hence: $\boxed{y(x) = 2e^{3x}}$

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Topics: Differential equations
Concepts: Initial condition · Exponential growth · Separable variables
Functions: Exponential function
Skills: Integrating · Solving equations
Exercise type: Equation solving

Testo

Risolvere $y'=-2xy$ (a variabili separabili: la soluzione è una gaussiana!).

Soluzione

Separiamo le variabili: $\dfrac{dy}{y} = -2x\,dx$. Integrando: $\ln|y| = -x^2 + C$, da cui: $\boxed{y(x) = A\,e^{-x^2}}$ È proprio la forma della campana di Gauss.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione

Problem

Solve $y'=-2xy$ (separable: the solution is a Gaussian!).

Solution

We separate the variables: $\dfrac{dy}{y} = -2x\,dx$. Integrating: $\ln|y| = -x^2 + C$, from which: $\boxed{y(x) = A\,e^{-x^2}}$ This is exactly the shape of the Gaussian bell curve.

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Topics: Differential equations
Concepts: Separable variables
Functions: Exponential function
Skills: Integrating · Solving equations
Exercise type: Equation solving

Testo

Risolvere $y'-y=e^x$ (lineare del primo ordine non omogenea).

Soluzione

Qui $p(x)=-1$, $P(x)=\int p\,dx=-x$, $q(x)=e^x$. Con la formula risolutiva: $y = e^{x}\left[\int e^x\cdot e^{-x}\,dx + C\right] = e^x\left[\int 1\,dx + C\right] = e^x(x + C).$ $\boxed{y(x) = e^x(x + C)}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Edo lineare primo ordine
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione

Problem

Solve $y'-y=e^x$ (first-order linear non-homogeneous).

Solution

Here $p(x)=-1$, $P(x)=\int p\,dx=-x$, $q(x)=e^x$. Using the solving formula: $y = e^{x}\left[\int e^x\cdot e^{-x}\,dx + C\right] = e^x\left[\int 1\,dx + C\right] = e^x(x + C).$ $\boxed{y(x) = e^x(x + C)}$

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Topics: Differential equations
Concepts: First-order linear ODE
Skills: Integrating · Solving equations · Using formulae
Exercise type: Equation solving

Testo

Risolvere $y''+9y=0$ con $y(0)=1$, $y'(0)=0$.

Soluzione

Equazione caratteristica $\lambda^2+9=0$, radici $\lambda=\pm 3i$ ($\alpha=0$, $\beta=3$). Soluzione generale: $y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).$ Da $y(0)=1$: $C_1=1$. Poiché $y'(x)=-3C_1\sin(3x)+3C_2\cos(3x)$, da $y'(0)=3C_2=0$ segue $C_2=0$. Quindi: $\boxed{y(x) = \cos(3x)}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Edo lineare secondo ordine · Equazione caratteristica · Oscillatore armonico
Funzioni: Coseno
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione

Problem

Solve $y''+9y=0$ with $y(0)=1$, $y'(0)=0$.

Solution

Characteristic equation $\lambda^2+9=0$, roots $\lambda=\pm 3i$ ($\alpha=0$, $\beta=3$). General solution: $y(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).$ From $y(0)=1$: $C_1=1$. Since $y'(x)=-3C_1\sin(3x)+3C_2\cos(3x)$, from $y'(0)=3C_2=0$ it follows that $C_2=0$. Hence: $\boxed{y(x) = \cos(3x)}$

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Topics: Differential equations
Concepts: Initial condition · Second-order linear ODE · Characteristic equation · Harmonic oscillator
Functions: Cosine
Skills: Solving equations
Exercise type: Equation solving

Testo

Un corpo di massa $m$ cade con resistenza dell’aria proporzionale alla velocità: $mv' = mg - kv$. Risolvere per $v(t)$ con $v(0)=0$ e trovare la velocità limite.

Soluzione

Riscriviamo come $v' = g - \dfrac{k}{m}v$: è a variabili separabili. Separiamo: $\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v} = dt.$ Integrando (il primo membro dà $-\frac{m}{k}\ln\bigl|g-\frac{k}{m}v\bigr|$) e imponendo $v(0)=0$ si ottiene: $\boxed{v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)}$ La velocità limite si trova per $t\to\infty$ (oppure ponendo $v'=0$): $\boxed{v_{\lim} = \frac{mg}{k}}$ La velocità cresce e si avvicina esponenzialmente al valore limite, quando la resistenza $kv$ bilancia esattamente la forza peso $mg$.

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Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Decadimento · Edo lineare primo ordine · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Integrare · Modellizzare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione

Problem

A body of mass $m$ falls with air resistance proportional to the velocity: $mv' = mg - kv$. Solve for $v(t)$ with $v(0)=0$ and find the terminal velocity.

Solution

We rewrite it as $v' = g - \dfrac{k}{m}v$: it is separable. We separate: $\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v} = dt.$ Integrating (the left-hand side gives $-\frac{m}{k}\ln\bigl|g-\frac{k}{m}v\bigr|$) and imposing $v(0)=0$ we obtain: $\boxed{v(t) = \frac{mg}{k}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right)}$ The terminal velocity is found as $t\to\infty$ (or by setting $v'=0$): $\boxed{v_{\lim} = \frac{mg}{k}}$ The velocity grows and approaches the limiting value exponentially, when the resistance $kv$ exactly balances the weight force $mg$.

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Topics: Differential equations
Concepts: Decay · First-order linear ODE · Separable variables
Functions: Exponential function
Skills: Integrating · Modelling · Solving equations
Exercise type: Modelling problem

Testo

Una tazza di tè a $90°$C è in una stanza a $20°$C; dopo 5 minuti il tè è a $70°$C. Trovare $k$ e calcolare il tempo per arrivare a $30°$C.

Soluzione

Per la legge di raffreddamento di Newton $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt} = 20 + 70\,e^{-kt}$.

Calcolo di $k$. Da $T(5)=70$: $70 = 20 + 70\,e^{-5k}$, cioè $e^{-5k} = \dfrac{50}{70}=\dfrac{5}{7}$. Quindi: $k = \frac{1}{5}\ln\frac{7}{5} \approx 0{,}0673\ \text{min}^{-1}.$

Tempo per arrivare a $30°$C. Da $30 = 20 + 70\,e^{-kt}$: $e^{-kt} = \dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}$, quindi: $t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{\ln 7}{0{,}0673} \approx \boxed{28{,}9\ \text{min}}$

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Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Decadimento · Legge di raffreddamento di newton · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Calcolare · Modellizzare
Persone: Isaac Newton
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione

Problem

A cup of tea at $90°$C is in a room at $20°$C; after 5 minutes the tea is at $70°$C. Find $k$ and calculate the time to reach $30°$C.

Solution

By Newton’s law of cooling $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt} = 20 + 70\,e^{-kt}$.

Calculation of $k$. From $T(5)=70$: $70 = 20 + 70\,e^{-5k}$, that is $e^{-5k} = \dfrac{50}{70}=\dfrac{5}{7}$. Hence: $k = \frac{1}{5}\ln\frac{7}{5} \approx 0{,}0673\ \text{min}^{-1}.$

Time to reach $30°$C. From $30 = 20 + 70\,e^{-kt}$: $e^{-kt} = \dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}$, hence: $t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{\ln 7}{0{,}0673} \approx \boxed{28{,}9\ \text{min}}$

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Topics: Differential equations
Concepts: Decay · Newton’s law of cooling · Separable variables
Functions: Exponential function
Skills: Calculating · Modelling
People: Isaac Newton
Exercise type: Modelling problem

Testo

A quale altitudine la pressione atmosferica è il $50\%$ di quella al livello del mare? E il $10\%$?

Soluzione

Dalla formula barometrica $P(h) = P_0\,e^{-\alpha h}$ con $\alpha \approx 1{,}13\times 10^{-4}$ m$^{-1}$ (a $T=293$ K).

Al $50\%$ ($P/P_0 = 0{,}5$): $e^{-\alpha h} = 0{,}5 \implies h = \frac{\ln 2}{\alpha} = \frac{0{,}6931}{1{,}13\times 10^{-4}} \approx \boxed{6\,135\ \text{m}}$

Al $10\%$ ($P/P_0 = 0{,}1$): $e^{-\alpha h} = 0{,}1 \implies h = \frac{\ln 10}{\alpha} = \frac{2{,}3026}{1{,}13\times 10^{-4}} \approx \boxed{20\,400\ \text{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Decadimento · Formula barometrica · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Calcolare · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione

Problem

At what altitude is atmospheric pressure $50\%$ of that at sea level? And $10\%$?

Solution

From the barometric formula $P(h) = P_0\,e^{-\alpha h}$ with $\alpha \approx 1{,}13\times 10^{-4}$ m$^{-1}$ (at $T=293$ K).

At $50\%$ ($P/P_0 = 0{,}5$): $e^{-\alpha h} = 0{,}5 \implies h = \frac{\ln 2}{\alpha} = \frac{0{,}6931}{1{,}13\times 10^{-4}} \approx \boxed{6\,135\ \text{m}}$

At $10\%$ ($P/P_0 = 0{,}1$): $e^{-\alpha h} = 0{,}1 \implies h = \frac{\ln 10}{\alpha} = \frac{2{,}3026}{1{,}13\times 10^{-4}} \approx \boxed{20\,400\ \text{m}}$

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Topics: Differential equations
Concepts: Decay · Barometric formula · Separable variables
Functions: Exponential function
Skills: Calculating · Modelling
Exercise type: Modelling problem