Disequazioni con sostituzione e studio del segno

Quando una disequazione goniometrica non è elementare, la si scompone in fattori usando le identità e le formule di addizione, duplicazione e prostaferesi, poi si studia il segno di ciascun fattore sulla circonferenza. La strategia è la stessa delle disequazioni fratte o con studio del segno viste in Seconda: una tabella del segno unica riassume il comportamento di tutti i fattori e permette di leggere la soluzione.

• Il metodo dello studio del segno
• Prodotto di fattori e tabella del segno

When a trigonometric inequality is not elementary, it is factorised using the identities and the addition, double-angle and sum-to-product formulae, then the sign of each factor is studied on the circle. The strategy is the same as for the fractional inequalities or those with sign study seen in Year 2: a single sign table summarises the behaviour of all the factors and lets us read the solution.

• The sign-study method
• Product of factors and sign table

Se la disequazione non è elementare, la si scompone in fattori usando le formule del capitolo precedente (addizione, duplicazione, prostaferesi) e si studia il segno dei singoli fattori. La strategia è la stessa delle disequazioni fratte o con studio del segno viste in Seconda: ridurre tutto a un prodotto (o quoziente) di fattori elementari di cui si sappia leggere il segno.

In sintesi — Procedimento generale

1. Scomporre in fattori usando identità, formule di duplicazione, prostaferesi o sostituzioni algebriche.
2. Studiare il segno di ciascun fattore sulla circonferenza goniometrica, segnando con "$+$" e "$-$" gli archi corrispondenti.
3. Costruire una tabella del segno unica con tutti i fattori.
4. Leggere la soluzione dalla tabella, identificando gli archi in cui il segno complessivo soddisfa la disequazione.

Il passaggio chiave è il primo: ricondurre l’espressione a un prodotto di fattori elementari. Ogni fattore è poi una disequazione elementare, il cui segno si legge sulla circonferenza esattamente come visto per $\sin$, $\cos$ e $\tan$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Formule di duplicazione · Scomposizione in fattori · Studio del segno · Tabella del segno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni · Usare formule

If the inequality is not elementary, it is factorised using the formulae of the previous chapter (addition, double-angle, sum-to-product) and the sign of the individual factors is studied. The strategy is the same as for the fractional inequalities or those with sign study seen in Year 2: reduce everything to a product (or quotient) of elementary factors whose sign can be read.

In summary — General procedure

1. Factorise using identities, double-angle formulae, sum-to-product formulae or algebraic substitutions.
2. Study the sign of each factor on the unit circle, marking the corresponding arcs with "$+$" and "$-$".
3. Build a single sign table with all the factors.
4. Read the solution from the table, identifying the arcs where the overall sign satisfies the inequality.

The key step is the first: reducing the expression to a product of elementary factors. Each factor is then an elementary inequality, whose sign is read on the circle exactly as seen for $\sin$, $\cos$ and $\tan$.

Links

Topics: Trigonometric inequalities
Concepts: Trigonometric inequality · Double-angle formulae · Factorisation · Sign study · Sign table
Functions: Cosine · Sine
Skills: Reasoning by cases · Solving inequalities · Using formulae

Vediamo il metodo dello studio del segno applicato a una disequazione già scritta come prodotto di due fattori: basta studiare separatamente il segno di ciascuno e combinarli in un’unica tabella.

Esempio — Dispensa del prof, 4C 2017-18

Risolvere $\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x\right) \ge 0$.

Fattore 1: $\sin x - \dfrac{1}{2} \ge 0 \iff \sin x \ge \dfrac{1}{2}$. Sulla circonferenza goniometrica, $\sin x = \dfrac{1}{2}$ per $x=\dfrac{\pi}{6}$ e $x=\dfrac{5\pi}{6}$; è positivo sopra la retta $y=\dfrac{1}{2}$, cioè in $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Fattore 2: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \ge 0 \iff \cos x \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Si ha $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ per $x=\dfrac{\pi}{4}$ e $x=-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$; è minore o uguale a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ a sinistra della retta verticale $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, cioè in $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]$.

Tabella del segno su $[0,2\pi)$:

La disequazione $\ge 0$ è soddisfatta dove il prodotto è positivo o nullo: $\left[0,\frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right)$ Generalizzando con la periodicità ($x \to x + 2k\pi$) si ottiene la soluzione completa.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Scomposizione in fattori · Studio del segno · Tabella del segno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi · Risolvere disequazioni

Let us see the sign-study method applied to an inequality already written as a product of two factors: it is enough to study the sign of each one separately and combine them in a single table.

Example — Teacher's handout, 4C 2017-18

Solve $\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x\right) \ge 0$.

Factor 1: $\sin x - \dfrac{1}{2} \ge 0 \iff \sin x \ge \dfrac{1}{2}$. On the unit circle, $\sin x = \dfrac{1}{2}$ for $x=\dfrac{\pi}{6}$ and $x=\dfrac{5\pi}{6}$; it is positive above the line $y=\dfrac{1}{2}$, that is on $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Factor 2: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \ge 0 \iff \cos x \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. We have $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ for $x=\dfrac{\pi}{4}$ and $x=-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$; it is less than or equal to $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ to the left of the vertical line $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, that is on $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]$.

Sign table on $[0,2\pi)$:

The inequality $\ge 0$ is satisfied where the product is positive or zero: $\left[0,\frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right)$ Generalising with periodicity ($x \to x + 2k\pi$) gives the complete solution.

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Topics: Trigonometric inequalities
Concepts: Trigonometric inequality · Factorisation · Sign study · Sign table
Functions: Cosine · Sine
Skills: Interpreting a graph · Reasoning by cases · Solving inequalities