Punti notevoli del triangolo

In ogni triangolo esistono quattro punti “speciali”, ciascuno definito come intersezione di tre rette particolari — mediane, altezze, bisettrici, assi. La cosa notevole è che in ogni caso le tre rette passano per uno stesso punto: sono concorrenti. Qui presentiamo i quattro punti notevoli e dimostriamo, uno per uno, i teoremi di concorrenza da cui nascono baricentro, ortocentro, circocentro e incentro.

• I quattro punti notevoli
• Triangolo equilatero
• Baricentro: concorrenza delle mediane
• Ortocentro: concorrenza delle altezze
• Circocentro: concorrenza degli assi
• Incentro: concorrenza delle bisettrici

In every triangle there are four “special” points, each defined as the intersection of three particular lines — medians, altitudes, bisectors, perpendicular bisectors. The remarkable thing is that in every case the three lines pass through a single point: they are concurrent. Here we present the four notable points and prove, one by one, the concurrency theorems from which the centroid, orthocentre, circumcentre and incentre arise.

• The four notable points
• Equilateral triangle
• Centroid: concurrency of the medians
• Orthocentre: concurrency of the altitudes
• Circumcentre: concurrency of the perpendicular bisectors
• Incentre: concurrency of the bisectors

Ogni triangolo possiede quattro punti notevoli, ciascuno ottenuto intersecando un particolare terzetto di rette.

In sintesi — I punti notevoli

I quattro punti notevoli di un triangolo sono:

• Baricentro $G$: intersezione delle mediane. Divide ogni mediana in rapporto $2:1$ a partire dal vertice.
• Ortocentro $H$: intersezione delle altezze.
• Incentro $I$: intersezione delle bisettrici degli angoli interni. È il centro della circonferenza inscritta.
• Circocentro $O$: intersezione degli assi dei lati. È il centro della circonferenza circoscritta.

In un triangolo generico i quattro punti notevoli sono distinti.

Osservazione — Triangolo equilatero

In un triangolo generico i quattro punti notevoli sono tutti distinti. In un triangolo equilatero coincidono tutti nello stesso punto.

Nel triangolo equilatero i quattro punti notevoli coincidono; sono mostrate anche la circonferenza circoscritta e quella inscritta.

Nella simulazione qui sotto puoi trascinare i vertici $A$, $B$, $C$ e osservare come si spostano i quattro punti notevoli: circocentro, baricentro e ortocentro restano sempre allineati sulla retta di Eulero.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Baricentro · Circocentro · Incentro · Ortocentro · Punti notevoli triangolo
Competenze: Geometria sintetica

Every triangle has four notable points, each obtained by intersecting a particular triple of lines.

In brief — The notable points

The four notable points of a triangle are:

• Centroid $G$: intersection of the medians. It divides each median in ratio $2:1$ starting from the vertex.
• Orthocentre $H$: intersection of the altitudes.
• Incentre $I$: intersection of the bisectors of the interior angles. It is the centre of the inscribed circle.
• Circumcentre $O$: intersection of the perpendicular bisectors of the sides. It is the centre of the circumscribed circle.

In a generic triangle the four notable points are distinct.

Remark — Equilateral triangle

In a generic triangle the four notable points are all distinct. In an equilateral triangle they all coincide at the same point.

In the equilateral triangle the four notable points coincide; the circumscribed and inscribed circles are also shown.

In the simulation below you can drag the vertices $A$, $B$, $C$ and watch the four notable points move: circumcentre, centroid and orthocentre always stay aligned on the Euler line.

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Centroid · Circumcentre · Incentre · Orthocentre · Notable points of a triangle
Skills: Synthetic geometry

Nel triangolo equilatero altezza, raggio della circoscritta e raggio dell’inscritta sono legati da rapporti semplici e memorabili.

Proprietà — Triangolo equilatero di lato $\ell$

$h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}, \qquad R = \frac{2}{3}\,h = \frac{\ell\sqrt{3}}{3}, \qquad r = \frac{1}{3}\,h = \frac{\ell\sqrt{3}}{6}.$ dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta e $r$ quello della inscritta.

Esempio — Equilatero di lato 6

In un triangolo equilatero con $\ell = 6$: $h = 3\sqrt{3}, \qquad R = 2\sqrt{3}, \qquad r = \sqrt{3}.$ Area: $S = \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = \boxed{9\sqrt{3}}$.

Verifica con la formula $r=S/p$: $r = \dfrac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$ ✓

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Circonferenza circoscritta · Circonferenza inscritta · Triangolo equilatero
Competenze: Calcolare · Usare formule

In the equilateral triangle the height, the radius of the circumscribed circle and the radius of the inscribed circle are related by simple, memorable ratios.

Property — Equilateral triangle of side $\ell$

$h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}, \qquad R = \frac{2}{3}\,h = \frac{\ell\sqrt{3}}{3}, \qquad r = \frac{1}{3}\,h = \frac{\ell\sqrt{3}}{6}.$ where $R$ is the radius of the circumscribed circle and $r$ that of the inscribed circle.

Example — Equilateral of side 6

In an equilateral triangle with $\ell = 6$: $h = 3\sqrt{3}, \qquad R = 2\sqrt{3}, \qquad r = \sqrt{3}.$ Area: $S = \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = \boxed{9\sqrt{3}}$.

Check with the formula $r=S/p$: $r = \dfrac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$ ✓

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Circumscribed circle · Inscribed circle · Equilateral triangle
Skills: Calculating · Using formulae

Il baricentro è il punto in cui si incontrano le tre mediane del triangolo. Dimostriamo che le mediane sono effettivamente concorrenti e che il punto comune divide ciascuna mediana in rapporto $2:1$.

Teorema — Concorrenza delle mediane

Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un unico punto $G$ (baricentro), che divide ciascuna mediana in rapporto $\dfrac{2}{1}$ a partire dal vertice.

Dimostrazione — Le mediane sono concorrenti

1. Siano $M$ punto medio di $AC$ e $N$ punto medio di $BC$. Le mediane $BM$ e $AN$ si intersecano in un punto $G$.
2. Per il teorema sull’intersezione di due mediane, $G$ divide $AN$ in modo che $AG\cong 2\,GN$ e $BG\cong 2\,GM$.
3. Congiungiamo ora $C$ con $G$ e prolunghiamo fino a incontrare $AB$ in $K$.
4. Se da $C$ mandassimo la mediana (verso il punto medio di $AB$), essa dovrebbe, per lo stesso teorema, intersecare $AN$ in un punto $S$ tale che $AS = 2\,SN$. Ma $G$ è l’unico punto di $AN$ con questa proprietà; dunque $S$ coincide con $G$.
5. Quindi anche $CK$ passa per $G$, e $K$ è il punto medio di $AB$: tutte e tre le mediane sono concorrenti in $G$.

∎

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Baricentro · Mediana
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

The centroid is the point where the three medians of the triangle meet. We prove that the medians are indeed concurrent and that the common point divides each median in ratio $2:1$.

Theorem — Concurrency of the medians

The three medians of a triangle meet at a single point $G$ (centroid), which divides each median in ratio $\dfrac{2}{1}$ starting from the vertex.

Proof — The medians are concurrent

1. Let $M$ be the midpoint of $AC$ and $N$ the midpoint of $BC$. The medians $BM$ and $AN$ intersect at a point $G$.
2. By the theorem on the intersection of two medians, $G$ divides $AN$ so that $AG\cong 2\,GN$ and $BG\cong 2\,GM$.
3. Now join $C$ with $G$ and extend until it meets $AB$ at $K$.
4. If from $C$ we drew the median (towards the midpoint of $AB$), it would, by the same theorem, intersect $AN$ at a point $S$ such that $AS = 2\,SN$. But $G$ is the only point of $AN$ with this property; hence $S$ coincides with $G$.
5. So $CK$ too passes through $G$, and $K$ is the midpoint of $AB$: all three medians are concurrent at $G$.

∎

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Centroid · Median
Skills: Proving · Synthetic geometry

L’ortocentro è l’intersezione delle tre altezze. La dimostrazione della loro concorrenza usa un’idea brillante: costruire un triangolo più grande di cui le altezze diventano gli assi dei lati.

Teorema — Concorrenza delle altezze

Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto (ortocentro).

Le altezze di $ABC$ (verdi) sono gli assi dei lati del triangolo esterno $DEF$.

Dimostrazione — Le altezze sono concorrenti

1. Da ogni vertice di $ABC$ mandiamo la parallela al lato opposto, formando il triangolo più grande $DEF$.
2. Per costruzione, $ABDC$ è un parallelogramma ($AB\parallel CD$, $AC\parallel BD$), dunque $AB\cong CD$. Analogamente, $ABCE$ è un parallelogramma, dunque $AB\cong CE$.
3. Segue $CD\cong CE$, cioè $C$ è il punto medio di $DE$.
4. Ora viene l’idea chiave: l’altezza $CH$ è perpendicolare ad $AB$, e $AB\parallel DE$ (per costruzione), dunque $CH\perp DE$ nel punto medio $C$. Ma allora $CH$ è l’asse del lato $DE$!
5. Analogamente, le altre altezze di $ABC$ sono assi dei lati di $DEF$. Poiché gli assi di un triangolo sono concorrenti, le altezze di $ABC$ sono concorrenti.

∎

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Altezza · Ortocentro
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

The orthocentre is the intersection of the three altitudes. The proof of their concurrency uses a brilliant idea: build a larger triangle for which the altitudes become the perpendicular bisectors of the sides.

Theorem — Concurrency of the altitudes

The three altitudes of a triangle meet at a single point (orthocentre).

The altitudes of $ABC$ (green) are the perpendicular bisectors of the sides of the outer triangle $DEF$.

Proof — The altitudes are concurrent

1. From each vertex of $ABC$ we draw the parallel to the opposite side, forming the larger triangle $DEF$.
2. By construction, $ABDC$ is a parallelogram ($AB\parallel CD$, $AC\parallel BD$), hence $AB\cong CD$. Likewise, $ABCE$ is a parallelogram, hence $AB\cong CE$.
3. It follows that $CD\cong CE$, that is, $C$ is the midpoint of $DE$.
4. Now comes the key idea: the altitude $CH$ is perpendicular to $AB$, and $AB\parallel DE$ (by construction), hence $CH\perp DE$ at the midpoint $C$. But then $CH$ is the perpendicular bisector of the side $DE$!
5. Likewise, the other altitudes of $ABC$ are perpendicular bisectors of the sides of $DEF$. Since the perpendicular bisectors of a triangle are concurrent, the altitudes of $ABC$ are concurrent.

∎

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Altitude · Orthocentre
Skills: Proving · Synthetic geometry

Il circocentro è l’intersezione dei tre assi dei lati ed è equidistante dai tre vertici: per questo è il centro della circonferenza circoscritta.

Teorema — Concorrenza degli assi

I tre assi dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto $O$ (circocentro), equidistante dai tre vertici: $OA\cong OB\cong OC$.

Dimostrazione — Gli assi sono concorrenti

1. Siano $m_1$ l’asse di $AB$ e $m_2$ l’asse di $BC$, e sia $O$ il loro punto di intersezione.
2. Poiché $O$ sta sull’asse di $AB$, per il teorema del luogo geometrico si ha $OA\cong OB$.
3. Poiché $O$ sta sull’asse di $BC$, si ha $OB\cong OC$.
4. Per transitività: $OA\cong OB\cong OC$, dunque $O$ è equidistante dai tre vertici.
5. Ma allora $OA\cong OC$ implica che $O$ sta anche sull’asse di $AC$ (terzo asse): i tre assi sono concorrenti in $O$, centro della circonferenza circoscritta.

∎

Osservazione — Circocentro nel triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.

Infatti l’angolo in $C$ è retto ($= \frac{\pi}{2}$) ed è un angolo alla circonferenza che insiste sull’arco $AB$. L’angolo al centro corrispondente vale $\pi$, dunque $A$, $O$ e $B$ sono allineati: $O$ sta sull’ipotenusa. Essendo $OA\cong OB$ (raggi), $O$ è il punto medio.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Asse segmento · Circocentro · Circonferenza circoscritta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

The circumcentre is the intersection of the three perpendicular bisectors of the sides and it is equidistant from the three vertices: that is why it is the centre of the circumscribed circle.

Theorem — Concurrency of the perpendicular bisectors

The three perpendicular bisectors of the sides of a triangle meet at a single point $O$ (circumcentre), equidistant from the three vertices: $OA\cong OB\cong OC$.

Proof — The perpendicular bisectors are concurrent

1. Let $m_1$ be the perpendicular bisector of $AB$ and $m_2$ that of $BC$, and let $O$ be their point of intersection.
2. Since $O$ lies on the perpendicular bisector of $AB$, by the locus theorem we have $OA\cong OB$.
3. Since $O$ lies on the perpendicular bisector of $BC$, we have $OB\cong OC$.
4. By transitivity: $OA\cong OB\cong OC$, hence $O$ is equidistant from the three vertices.
5. But then $OA\cong OC$ implies that $O$ also lies on the perpendicular bisector of $AC$ (the third one): the three perpendicular bisectors are concurrent at $O$, the centre of the circumscribed circle.

∎

Remark — Circumcentre in the right triangle

In a right triangle the circumcentre coincides with the midpoint of the hypotenuse.

Indeed the angle at $C$ is right ($= \frac{\pi}{2}$) and is an inscribed angle subtending the arc $AB$. The corresponding central angle is $\pi$, hence $A$, $O$ and $B$ are collinear: $O$ lies on the hypotenuse. Since $OA\cong OB$ (radii), $O$ is the midpoint.

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Perpendicular bisector · Circumcentre · Circumscribed circle
Skills: Proving · Synthetic geometry

L’incentro è l’intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni ed è equidistante dai tre lati: la distanza comune è il raggio della circonferenza inscritta.

Teorema — Concorrenza delle bisettrici

Le tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un unico punto $I$ (incentro), equidistante dai tre lati.

Dimostrazione — Le bisettrici sono concorrenti

1. Siano $b_A$ la bisettrice dell’angolo $\widehat{A}$ e $b_B$ quella dell’angolo $\widehat{B}$, e sia $I$ il loro punto di intersezione.
2. Poiché $I$ sta sulla bisettrice di $\widehat{A}$, è equidistante dai lati $AB$ e $AC$: $d(I,AB)\cong d(I,AC)$.
3. Poiché $I$ sta sulla bisettrice di $\widehat{B}$, è equidistante dai lati $AB$ e $BC$: $d(I,AB)\cong d(I,BC)$.
4. Per transitività: $d(I,AC)\cong d(I,BC)$, dunque $I$ sta anche sulla bisettrice di $\widehat{C}$: le tre bisettrici sono concorrenti in $I$.
5. La distanza comune $r = d(I, \text{lato})$ è il raggio della circonferenza inscritta.

∎

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Bisettrice · Circonferenza inscritta · Incentro · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

The incentre is the intersection of the three bisectors of the interior angles and it is equidistant from the three sides: the common distance is the radius of the inscribed circle.

Theorem — Concurrency of the bisectors

The three bisectors of the interior angles of a triangle meet at a single point $I$ (incentre), equidistant from the three sides.

Proof — The bisectors are concurrent

1. Let $b_A$ be the bisector of the angle $\widehat{A}$ and $b_B$ that of the angle $\widehat{B}$, and let $I$ be their point of intersection.
2. Since $I$ lies on the bisector of $\widehat{A}$, it is equidistant from the sides $AB$ and $AC$: $d(I,AB)\cong d(I,AC)$.
3. Since $I$ lies on the bisector of $\widehat{B}$, it is equidistant from the sides $AB$ and $BC$: $d(I,AB)\cong d(I,BC)$.
4. By transitivity: $d(I,AC)\cong d(I,BC)$, hence $I$ also lies on the bisector of $\widehat{C}$: the three bisectors are concurrent at $I$.
5. The common distance $r = d(I, \text{lato})$ is the radius of the inscribed circle.

∎

Links

Topics: Euclidean circle
Concepts: Bisector · Inscribed circle · Incentre · Line
Skills: Proving · Synthetic geometry