Equazioni elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono della forma $\sin x = k$, $\cos x = k$ oppure $\tan x = k$: sono il mattone di base a cui tutte le altre equazioni goniometriche vengono ricondotte. Le loro soluzioni si ricavano con le funzioni inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) e si possono leggere geometricamente sulla circonferenza goniometrica.

• Equazioni goniometriche elementari
• Lettura sulla circonferenza goniometrica

Elementary trigonometric equations take the form $\sin x = k$, $\cos x = k$ or $\tan x = k$: they are the basic building block to which all other trigonometric equations are reduced. Their solutions are obtained with the inverse functions (arcsine, arccosine, arctangent) and can be read geometrically on the trigonometric circle.

• Elementary trigonometric equations
• Reading on the trigonometric circle

Le equazioni goniometriche più semplici hanno una funzione goniometrica uguagliata a una costante. Le loro soluzioni si ottengono con le funzioni inverse e, per la periodicità, formano una o più famiglie infinite di angoli.

In sintesi — Equazioni elementari

• $\sin x = k$ (con $|k|\le 1$): $x = \arcsin k + 2k_1\pi$ oppure $x = \pi - \arcsin k + 2k_1\pi$, con $k_1\in\mathbb{Z}$. Se $|k|>1$, nessuna soluzione.
• $\cos x = k$ (con $|k|\le 1$): $x = \pm \arccos k + 2k_1\pi$, con $k_1\in\mathbb{Z}$. Se $|k|>1$, nessuna soluzione.
• $\tan x = k$: $x = \arctan k + k_1\pi$, con $k_1\in\mathbb{Z}$ (sempre una sola famiglia, periodo $\pi$).

Esempio

Risolvere $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Poiché $\arcsin\left(\sqrt{3}/2\right) = \pi/3$, si ha $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{oppure}\quad x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi.$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione elementare · Equazione goniometrica · Periodicita
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule

The simplest trigonometric equations have a trigonometric function set equal to a constant. Their solutions are obtained with the inverse functions and, because of periodicity, form one or more infinite families of angles.

In summary — Elementary equations

• $\sin x = k$ (with $|k|\le 1$): $x = \arcsin k + 2k_1\pi$ or $x = \pi - \arcsin k + 2k_1\pi$, with $k_1\in\mathbb{Z}$. If $|k|>1$, no solution.
• $\cos x = k$ (with $|k|\le 1$): $x = \pm \arccos k + 2k_1\pi$, with $k_1\in\mathbb{Z}$. If $|k|>1$, no solution.
• $\tan x = k$: $x = \arctan k + k_1\pi$, with $k_1\in\mathbb{Z}$ (always a single family, period $\pi$).

Example

Solve $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Since $\arcsin\left(\sqrt{3}/2\right) = \pi/3$, we have $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{or}\quad x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi.$

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Topics: Equazioni goniometriche
Concepts: Equazione elementare · Equazione goniometrica · Periodicita
Functions: Coseno · Seno · Tangente
Methods: Goniometriche equazioni
Skills: Risolvere equazioni · Usare formule

Le equazioni elementari hanno un’interpretazione geometrica immediata sulla circonferenza goniometrica: essa rende evidente perché $\sin x = k$ dà due famiglie di soluzioni mentre $\tan x = k$ ne dà una sola.

Osservazione — Metodo geometrico: lettura sulla circonferenza

Le soluzioni di $\sin x = k$ si leggono tracciando sulla circonferenza goniometrica la retta orizzontale $y=k$: le sue intersezioni con la circonferenza sono $P_{x_0}$ e $P_{\pi - x_0}$ (il simmetrico di $P_{x_0}$ rispetto all’asse $y$), da cui la doppia famiglia. Analogamente, $\cos x = k$ corrisponde alla retta verticale $x=k$ e dà i punti $P_{x_0}$ e $P_{-x_0}$.

Le soluzioni di $\sin x = k$: la retta $y=k$ interseca la circonferenza nei punti $P_{x_0}$ e $P_{\pi-x_0}$.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Equazione elementare
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere equazioni

Elementary equations have an immediate geometric interpretation on the trigonometric circle: it makes it plain why $\sin x = k$ yields two families of solutions whereas $\tan x = k$ yields only one.

Observation — Geometric method: reading on the circle

The solutions of $\sin x = k$ are read off by drawing on the trigonometric circle the horizontal line $y=k$: its intersections with the circle are $P_{x_0}$ and $P_{\pi - x_0}$ (the reflection of $P_{x_0}$ across the $y$-axis), hence the double family. Likewise, $\cos x = k$ corresponds to the vertical line $x=k$ and gives the points $P_{x_0}$ and $P_{-x_0}$.

The solutions of $\sin x = k$: the line $y=k$ intersects the circle at the points $P_{x_0}$ and $P_{\pi-x_0}$.

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Topics: Trigonometric equations
Concepts: Trigonometric circle · Elementary equation
Functions: Cosine · Sine
Skills: Interpreting a graph · Solving equations