Progressioni aritmetiche e geometriche

Le due famiglie di successioni più importanti dell’aritmetica elementare: la progressione aritmetica, in cui a ogni passo si somma una ragione fissa $d$, e la progressione geometrica, in cui si moltiplica per una ragione fissa $q$. Di entrambe si ricavano la forma chiusa del termine $n$-esimo e la formula per la somma dei primi $n$ termini, illustrate dall’aneddoto di Gauss e dalla leggenda della scacchiera, e collegate al confronto tra interesse semplice e interesse composto.

• Progressione aritmetica
• Somma dei primi n termini di una PA
• L’aneddoto di Gauss bambino
• Progressione geometrica
• Somma dei primi n termini di una PG
• La leggenda della scacchiera
• PA e PG a confronto
• PG e serie geometrica

The two most important families of sequences in elementary arithmetic: the arithmetic progression, in which at each step a fixed common difference $d$ is added, and the geometric progression, in which one multiplies by a fixed common ratio $q$. For both, the closed form of the $n$-th term and the formula for the sum of the first $n$ terms are derived, illustrated by the anecdote of Gauss and the legend of the chessboard, and linked to the comparison between simple interest and compound interest.

• Arithmetic progression
• Sum of the first n terms of an AP
• The anecdote of the young Gauss
• Geometric progression
• Sum of the first n terms of a GP
• The legend of the chessboard
• AP and GP compared
• GP and geometric series

Le successioni aritmetica e geometrica hanno nomi storici e formule chiuse ben note: sono le due famiglie di successioni più importanti dell’aritmetica elementare e ricorrono in finanza, fisica, biologia delle popolazioni, ovunque ci sia una crescita “a tasso fisso”.

Definizione — Progressione aritmetica (PA)

Una progressione aritmetica è una successione $(a_n)$ in cui ogni termine si ottiene dal precedente sommando una costante $d$, detta ragione: $a_{n+1} = a_n + d,\qquad d\in\mathbb{R}.$ La forma chiusa del termine $n$-esimo è $a_n = a_1 + (n-1)\,d$ (usando l’indicizzazione da $1$, che è la più comune in questo contesto).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione aritmetica · Ragione · Termine generale

The arithmetic and geometric sequences have well-known historical names and closed-form formulas: they are the two most important families of sequences in elementary arithmetic and recur in finance, physics, population biology, wherever there is “fixed-rate” growth.

Definition — Arithmetic progression (AP)

An arithmetic progression is a sequence $(a_n)$ in which each term is obtained from the previous one by adding a constant $d$, called the common difference: $a_{n+1} = a_n + d,\qquad d\in\mathbb{R}.$ The closed form of the $n$-th term is $a_n = a_1 + (n-1)\,d$ (using indexing from $1$, which is the most common in this context).

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Topics: Sequences
Concepts: Arithmetic progression · Common ratio · General term

Una delle proprietà più eleganti delle progressioni aritmetiche è che la somma dei loro primi termini si chiude in una formula semplice.

Proprietà — Somma dei primi $n$ termini di una PA

La somma dei primi $n$ termini di una PA si chiude in una formula molto pulita: $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{n\,(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2}.$ A parole: “numero di termini per la media tra primo e ultimo”.

L’idea dietro la formula è accoppiare il primo termine con l’ultimo, il secondo con il penultimo, e così via: ogni coppia ha la stessa somma $a_1+a_n$, e le coppie sono $n/2$.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione aritmetica
Metodi: Progressione aritmetica somma
Competenze: Dimostrare · Usare formule

One of the most elegant properties of arithmetic progressions is that the sum of their first terms closes into a simple formula.

Property — Sum of the first $n$ terms of an AP

The sum of the first $n$ terms of an AP closes into a very clean formula: $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{n\,(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)}{2}.$ In words: “number of terms times the average of the first and last”.

The idea behind the formula is to pair the first term with the last, the second with the second-to-last, and so on: each pair has the same sum $a_1+a_n$, and there are $n/2$ pairs.

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Topics: Sequences
Concepts: Arithmetic progression
Methods: Sum of an arithmetic progression
Skills: Prove · Use formulas

Storia — L'aneddoto di Gauss bambino

Si racconta che il maestro di Gauss, per tenere occupata la classe, chiese di sommare i numeri da $1$ a $100$. Il piccolo Carl Friedrich, dopo pochi secondi, scrisse $5050$. Aveva osservato: $1+100 = 2+99 = \cdots = 50+51 = 101$, ci sono $50$ coppie, quindi $50\cdot 101 = 5050$. È esattamente la formula $S_n = n(a_1+a_n)/2$ con $a_1 = 1$, $a_n = 100$, $n = 100$.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione aritmetica
Metodi: Progressione aritmetica somma
Persone: Carl Friedrich Gauss

History — The anecdote of the young Gauss

The story goes that Gauss’s teacher, to keep the class busy, asked them to add up the numbers from $1$ to $100$. Young Carl Friedrich, after a few seconds, wrote $5050$. He had noticed: $1+100 = 2+99 = \cdots = 50+51 = 101$, there are $50$ pairs, hence $50\cdot 101 = 5050$. This is exactly the formula $S_n = n(a_1+a_n)/2$ with $a_1 = 1$, $a_n = 100$, $n = 100$.

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Concepts: Arithmetic progression
Methods: Sum of an arithmetic progression
People: Carl Friedrich Gauss

Accanto alla progressione aritmetica, in cui si somma una costante, sta la progressione geometrica, in cui a ogni passo si moltiplica per una costante.

Definizione — Progressione geometrica (PG)

Una progressione geometrica è una successione $(a_n)$ in cui ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per una costante $q\ne 0$, detta ragione: $a_{n+1} = q\,a_n,\qquad q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$ La forma chiusa del termine $n$-esimo è $a_n = a_1\,q^{n-1}.$

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione geometrica · Ragione · Termine generale

Alongside the arithmetic progression, in which a constant is added, sits the geometric progression, in which at each step one multiplies by a constant.

Definition — Geometric progression (GP)

A geometric progression is a sequence $(a_n)$ in which each term is obtained from the previous one by multiplying by a constant $q\ne 0$, called the common ratio: $a_{n+1} = q\,a_n,\qquad q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.$ The closed form of the $n$-th term is $a_n = a_1\,q^{n-1}.$

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Concepts: Geometric progression · Common ratio · General term

Anche la somma dei primi termini di una progressione geometrica ammette una formula chiusa, valida però solo quando la ragione è diversa da $1$.

Proprietà — Somma dei primi $n$ termini di una PG

Per $q\ne 1$: $S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}.$ Per $q = 1$ tutti i termini coincidono e $S_n = n\,a_1$.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione geometrica
Metodi: Progressione geometrica somma
Competenze: Usare formule

The sum of the first terms of a geometric progression also admits a closed-form formula, valid however only when the common ratio is different from $1$.

Property — Sum of the first $n$ terms of a GP

For $q\ne 1$: $S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} = a_1\,\frac{q^n - 1}{q - 1}.$ For $q = 1$ all the terms coincide and $S_n = n\,a_1$.

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Concepts: Geometric progression
Methods: Sum of a geometric progression
Skills: Use formulas

Storia — La leggenda della scacchiera

Si dice che l’inventore degli scacchi, ricevuto in udienza dal sovrano, chiese come ricompensa un chicco di grano sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via raddoppiando per tutte e $64$ le caselle. È una PG con $a_1 = 1$ e $q = 2$: $S_{64} = \frac{2^{64}-1}{2-1} = 2^{64}-1 \approx 1{,}8\cdot 10^{19}\ \text{chicchi}.$ È più grano di quanto se ne sia mai prodotto in tutta la storia dell’umanità.

La leggenda è didatticamente perfetta: in pochi passaggi mostra perché la crescita geometrica è qualitativamente diversa da quella aritmetica.

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Concetti: Progressione geometrica
Metodi: Progressione geometrica somma

History — The legend of the chessboard

It is said that the inventor of chess, received in audience by the sovereign, asked as a reward for one grain of wheat on the first square, two on the second, four on the third, and so on doubling for all $64$ squares. It is a GP with $a_1 = 1$ and $q = 2$: $S_{64} = \frac{2^{64}-1}{2-1} = 2^{64}-1 \approx 1{,}8\cdot 10^{19}\ \text{chicchi}.$ That is more wheat than has ever been produced in the whole history of humanity.

The legend is didactically perfect: in a few steps it shows why geometric growth is qualitatively different from arithmetic growth.

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Methods: Sum of a geometric progression

Il confronto tra crescita aritmetica e crescita geometrica è al cuore di molte scelte finanziarie: interesse semplice contro interesse composto.

Esempio — PA e PG a confronto

Stipendio iniziale di $1\,000$ euro al mese. Due offerte concorrenti per gli aumenti su $10$ anni ($120$ mesi):

• offerta A (PA): $+\,5$ euro ogni mese.   $a_{120} = 1000 + 119\cdot 5 = 1\,595$ euro al mese; totale incassato $S_{120} = 120(1000+1595)/2 = 155\,700$ euro.
• offerta B (PG): $+\,0{,}3\%$ ogni mese ($q = 1{,}003$).   $a_{120} = 1000\cdot 1{,}003^{119} \approx 1\,427$ euro/mese; totale $S_{120} = 1000\cdot(1{,}003^{120}-1)/0{,}003 \approx 144\,500$ euro.

Sui $10$ anni la PA paga di più; ma su $30$ anni la situazione si rovescia (la PG cresce esponenzialmente, la PA solo linearmente).

Il dilemma ricompare ovunque si confrontino interesse semplice (PA) e interesse composto (PG).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione aritmetica · Progressione geometrica
Metodi: Progressione aritmetica somma · Progressione geometrica somma
Competenze: Modellizzare · Usare formule

The comparison between arithmetic growth and geometric growth is at the heart of many financial choices: simple interest versus compound interest.

Example — AP and GP compared

Starting salary of $1\,000$ euros a month. Two competing offers for the pay rises over $10$ years ($120$ months):

• offer A (AP): $+\,5$ euros every month.   $a_{120} = 1000 + 119\cdot 5 = 1\,595$ euros a month; total received $S_{120} = 120(1000+1595)/2 = 155\,700$ euros.
• offer B (GP): $+\,0{,}3\%$ every month ($q = 1{,}003$).   $a_{120} = 1000\cdot 1{,}003^{119} \approx 1\,427$ euros/month; total $S_{120} = 1000\cdot(1{,}003^{120}-1)/0{,}003 \approx 144\,500$ euros.

Over the $10$ years the AP pays more; but over $30$ years the situation reverses (the GP grows exponentially, the AP only linearly).

The dilemma reappears wherever simple interest (AP) and compound interest (GP) are compared.

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Methods: Sum of an arithmetic progression · Sum of a geometric progression
Skills: Model · Use formulas

Un fatto sorprendente: se la ragione ha valore assoluto minore di $1$, sommando infiniti termini di una progressione geometrica si ottiene comunque un risultato finito.

Osservazione — PG e serie geometrica

Per $|q|<1$ la PG ha addirittura una somma infinita finita: $\sum_{k=0}^{\infty}a_1\,q^k = \lim_{n\to\infty}a_1\,\frac{1-q^n}{1-q} = \frac{a_1}{1-q}.$ Questa è la serie geometrica, già incontrata in Seconda con il calcolo dell’area sotto una scala infinita di rettangoli e ripresa formalmente nell’ultima sezione di questo capitolo.

Il meccanismo è quello del limite: le somme parziali $a_1\,\frac{1-q^n}{1-q}$ formano una successione, e per $|q|<1$ il termine $q^n$ tende a $0$, lasciando il valore limite $\frac{a_1}{1-q}$.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Progressione geometrica · Serie geometrica

A surprising fact: if the common ratio has absolute value less than $1$, adding up infinitely many terms of a geometric progression still gives a finite result.

Observation — GP and geometric series

For $|q|<1$ the GP even has a finite infinite sum: $\sum_{k=0}^{\infty}a_1\,q^k = \lim_{n\to\infty}a_1\,\frac{1-q^n}{1-q} = \frac{a_1}{1-q}.$ This is the geometric series, already met in Year Two with the computation of the area under an infinite staircase of rectangles and taken up formally in the last section of this chapter.

The mechanism is that of the limit: the partial sums $a_1\,\frac{1-q^n}{1-q}$ form a sequence, and for $|q|<1$ the term $q^n$ tends to $0$, leaving the limiting value $\frac{a_1}{1-q}$.

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