Equazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado ha l’incognita elevata al quadrato. La sua forma canonica è $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq 0$, e la formula risolutiva permette di trovarne le soluzioni in un colpo solo. Il discriminante $\Delta=b^2-4ac$ ci dice subito quante soluzioni reali aspettarci, senza bisogno di completare i calcoli.

• La forma canonica
• La formula risolutiva e il discriminante

A quadratic equation has the unknown raised to the second power. Its standard form is $ax^2+bx+c=0$ with $a\neq 0$, and the quadratic formula lets you find its solutions in one stroke. The discriminant $\Delta=b^2-4ac$ tells us at once how many real solutions to expect, without needing to complete the calculations.

• The standard form
• The quadratic formula and the discriminant

Ogni equazione di secondo grado può essere ricondotta, portando tutti i termini a primo membro, a una forma standard in cui compaiono un termine di secondo grado, uno di primo grado e uno noto.

Definizione — Forma canonica

Un’equazione di secondo grado nella forma canonica è: $ax^2 + bx + c = 0, \qquad a\neq 0.$

La condizione $a\neq 0$ è essenziale: se fosse $a=0$ l’equazione sarebbe di primo grado. I numeri $a$, $b$ e $c$ si dicono coefficienti: $a$ è il coefficiente di secondo grado, $b$ quello di primo grado e $c$ il termine noto.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Forma canonica

Every quadratic equation can be reduced, by bringing all the terms to the left-hand side, to a standard form in which a second-degree term, a first-degree term and a constant term appear.

Definition — Standard form

A quadratic equation in standard form is: $ax^2 + bx + c = 0, \qquad a\neq 0.$

The condition $a\neq 0$ is essential: if $a=0$ the equation would be of first degree. The numbers $a$, $b$ and $c$ are called coefficients: $a$ is the second-degree coefficient, $b$ the first-degree one and $c$ the constant term.

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Quadratic equation · Standard form

Vediamo ora la formula risolutiva generale. Il discriminante $\Delta$ ci dice subito quante soluzioni reali ha l’equazione.

In sintesi — Formula risolutiva

$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Il discriminante $\Delta = b^2-4ac$ determina la natura delle soluzioni:

• $\Delta > 0$: due soluzioni reali distinte
• $\Delta = 0$: una soluzione reale doppia
• $\Delta < 0$: nessuna soluzione reale

Il segno del discriminante è quindi una spia rapida: basta calcolare $b^2-4ac$ per sapere, ancora prima di estrarre la radice, se e quante soluzioni reali troveremo.

Storia — Il completamento del quadrato di al-Khwārizmī

La formula risolutiva non nasce già bell’e pronta: si ricava «completando il quadrato», la stessa tecnica che intorno all’anno 820 il matematico persiano al-Khwārizmī espose nel suo trattato al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābala — dal cui titolo derivano le parole algebra e algoritmo. Per risolvere un caso come $x^2+10x=39$, egli non disponeva ancora del simbolismo moderno e ragionava con le figure: al quadrato di lato $x$ affiancava due rettangoli di lati $x$ e $5$, e per «completare» la grande figura aggiungeva il quadratino mancante di area $25$, ottenendo un quadrato di area $39+25=64$ e quindi lato $8$, da cui $x=3$ (Boyer). al-Khwārizmī classificava le equazioni in sei tipi e ne dava per ciascuno una ricetta geometrica, perché non accettava né i coefficienti né le soluzioni negative (Katz).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Discriminante · Equazione secondo grado · Formula risolutiva
Metodi: Delta secondo grado
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule
Persone: al-Khwārizmī

Let us now look at the general quadratic formula. The discriminant $\Delta$ tells us at once how many real solutions the equation has.

In brief — Quadratic formula

$\boxed{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

The discriminant $\Delta = b^2-4ac$ determines the nature of the solutions:

• $\Delta > 0$: two distinct real solutions
• $\Delta = 0$: one repeated real solution
• $\Delta < 0$: no real solution

The sign of the discriminant is therefore a quick indicator: it is enough to compute $b^2-4ac$ to know, even before taking the square root, whether and how many real solutions we shall find.

History — al-Khwārizmī's completing the square

The quadratic formula does not come ready-made: it is obtained by “completing the square”, the very technique that around the year 820 the Persian mathematician al-Khwārizmī set out in his treatise al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l-muqābala — from whose title the words algebra and algorithm derive. To solve a case such as $x^2+10x=39$ he did not yet have modern symbolism and reasoned with figures: to the square of side $x$ he attached two rectangles with sides $x$ and $5$, and to “complete” the large figure he added the missing little square of area $25$, obtaining a square of area $39+25=64$ and hence side $8$, so that $x=3$ (Boyer). al-Khwārizmī classified equations into six types and gave a geometric recipe for each, since he accepted neither negative coefficients nor negative solutions (Katz).

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Topics: Quadratic equations
Concepts: Discriminant · Quadratic equation · Quadratic formula
Methods: Delta of the quadratic
Skills: Solving equations · Using formulae
People: al-Khwārizmī

Le equazioni di secondo grado sono tra i problemi più antichi della matematica: erano già risolte dagli scribi della Mesopotamia quasi quattromila anni fa, molti secoli prima che esistessero i simboli algebrici. Su tavolette d’argilla di epoca paleo-babilonese (all’incirca il 1800–1600 a.C.), scritte in numerazione sessagesimale, compaiono problemi del tipo: «ho sommato l’area e il lato di un quadrato e ho ottenuto $\tfrac{3}{4}$; quanto vale il lato?». In notazione moderna si tratta dell’equazione $x^2 + x = \tfrac{3}{4}$.

Una ricetta senza formule

Gli scribi non enunciavano una formula generale né usavano lettere: davano una procedura, un elenco di operazioni da eseguire sui numeri del problema, esattamente ciò che oggi chiameremmo un algoritmo. Per l’equazione $x^2 + x = \tfrac{3}{4}$ la ricetta suonava così: prendi la metà di $1$ (il coefficiente del lato), cioè $\tfrac{1}{2}$; elevala al quadrato, ottenendo $\tfrac{1}{4}$; sommala a $\tfrac{3}{4}$, ottenendo $1$; estraine la radice, cioè $1$; infine sottrai la metà di prima, $\tfrac{1}{2}$. Il risultato è $x = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$.

Se ripercorriamo quei passi con i simboli di oggi vediamo che è esattamente il completamento del quadrato: $x^2 + x = \tfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; \left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1 \;\Rightarrow\; x + \tfrac{1}{2} = 1.$

Molti problemi babilonesi, inoltre, sono posti nella forma «conosco la somma e il prodotto di due numeri, trovali»: un sistema che, sostituendo, si riduce a una quadratica. È lo stesso schema che ritroveremo nei sistemi simmetrici e nelle formule sulla somma e sul prodotto delle radici.

Dai Babilonesi ad al-Khwārizmī

I Babilonesi conoscevano dunque il metodo, ma lo applicavano caso per caso, sempre su numeri concreti e prendendo una sola radice (mai quella negativa, che per loro non avrebbe avuto senso, trattandosi di lunghezze). Il passo verso una teoria generale delle equazioni di secondo grado — con una classificazione dei tipi e una giustificazione geometrica di ciascuna ricetta — arriva molto più tardi, attorno all’anno 820, con l’opera di al-Khwārizmī, il testo fondatore dell’algebra. La formula risolutiva con la radice del discriminante, che oggi impariamo in un colpo solo, è la versione simbolica moderna di una tecnica che l’umanità usava, a piccoli passi, da quasi quattro millenni.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Completamento del quadrato · Equazione secondo grado
Persone: al-Khwārizmī

Quadratic equations are among the oldest problems in mathematics: they were already being solved by the scribes of Mesopotamia almost four thousand years ago, many centuries before algebraic symbols existed. On clay tablets from the Old Babylonian period (roughly 1800–1600 BC), written in sexagesimal (base-60) numeration, we find problems such as: “I added the area and the side of a square and obtained $\tfrac{3}{4}$; what is the side?” In modern notation this is the equation $x^2 + x = \tfrac{3}{4}$.

A recipe without formulae

The scribes stated neither a general formula nor used letters: they gave a procedure, a list of operations to carry out on the numbers of the problem — precisely what we would today call an algorithm. For the equation $x^2 + x = \tfrac{3}{4}$ the recipe ran like this: take half of $1$ (the coefficient of the side), that is $\tfrac{1}{2}$; square it, obtaining $\tfrac{1}{4}$; add it to $\tfrac{3}{4}$, obtaining $1$; take its square root, that is $1$; finally subtract the half from before, $\tfrac{1}{2}$. The result is $x = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$.

If we retrace those steps with today’s symbols we see that it is exactly completing the square: $x^2 + x = \tfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; \left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4} = 1 \;\Rightarrow\; x + \tfrac{1}{2} = 1.$

Moreover, many Babylonian problems are posed in the form “I know the sum and the product of two numbers, find them”: a system that, by substitution, reduces to a quadratic. It is the same scheme we shall meet again in symmetric systems and in the formulae for the sum and product of the roots.

From the Babylonians to al-Khwārizmī

The Babylonians thus knew the method, but applied it case by case, always on concrete numbers and taking only one root (never the negative one, which for them would have made no sense, since these were lengths). The step towards a general theory of quadratic equations — with a classification of types and a geometric justification of each recipe — comes much later, around the year 820, with the work of al-Khwārizmī, the founding text of algebra. The quadratic formula with the square root of the discriminant, which we learn today in a single stroke, is the modern symbolic version of a technique that humankind had been using, step by step, for almost four millennia.

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