La derivata come pendenza della tangente

Prima di ogni formula, la derivata è un concetto geometrico: è il numero che misura quanto è inclinata la curva in un punto. Se il grafico sale ripidamente la derivata è grande e positiva, se scende è negativa, se è piatto vale zero. Questa sezione introduce la derivata come coefficiente angolare della retta tangente e ne ricava le equazioni della tangente e della normale.

• La derivata come pendenza della tangente
• Retta tangente e retta normale

Before any formula, the derivative is a geometric concept: it is the number that measures how steep the curve is at a point. If the graph rises steeply the derivative is large and positive, if it descends it is negative, if it is flat it equals zero. This section introduces the derivative as the slope of the tangent line and derives from it the equations of the tangent and the normal.

• The derivative as the slope of the tangent
• Tangent line and normal line

Prima di ogni formula, la derivata è un concetto geometrico: è il numero che misura quanto è inclinata la curva in un punto. Se il grafico di una funzione $f$ sale ripidamente, la derivata è un numero grande e positivo; se scende dolcemente, è un numero negativo piccolo; se è piatto, la derivata è zero.

Definizione — La derivata come pendenza

La derivata di $f$ nel punto $x_0$, indicata con $f'(x_0)$ o con $\frac{df}{dx}\big|_{x_0}$, è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0, f(x_0))$.

Come nasce, geometricamente, questa retta tangente? Si parte da una retta secante e si passa al limite.

Dalla secante alla tangente: la secante arancione passa per $P$ e $Q$ con pendenza $\Delta f/\Delta x$; quando $Q$ si avvicina a $P$ lungo la curva la secante ruota e tende alla tangente (rossa), la cui pendenza è la derivata.

La retta secante ha per pendenza il rapporto $\Delta f/\Delta x$ fra la variazione dell’altezza e quella dell’ascissa. Quando il secondo punto $Q$ scivola verso $P$, la secante “ruota” e si adagia sulla curva: al limite diventa la tangente, e la sua pendenza è proprio la derivata.

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• The paradox of the derivative — 3Blue1Brown

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Argomenti: Derivate
Concetti: Coefficiente angolare · Derivata · Retta · Retta tangente
Competenze: Interpretare grafico

Before any formula, the derivative is a geometric concept: it is the number that measures how steep the curve is at a point. If the graph of a function $f$ rises steeply, the derivative is a large positive number; if it descends gently, it is a small negative number; if it is flat, the derivative is zero.

Definition — The derivative as slope

The derivative of $f$ at the point $x_0$, denoted by $f'(x_0)$ or by $\frac{df}{dx}\big|_{x_0}$, is the slope of the tangent line to the graph of $f$ at the point $(x_0, f(x_0))$.

How does this tangent line arise geometrically? One starts from a secant line and passes to the limit.

From the secant to the tangent: the orange secant passes through $P$ and $Q$ with slope $\Delta f/\Delta x$; as $Q$ approaches $P$ along the curve the secant rotates and tends to the tangent (red), whose slope is the derivative.

The secant line has as its slope the ratio $\Delta f/\Delta x$ between the change in height and the change in the abscissa. As the second point $Q$ slides towards $P$, the secant “rotates” and settles onto the curve: in the limit it becomes the tangent, and its slope is precisely the derivative.

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Topics: Derivatives
Concepts: Slope · Derivative · Line · Tangent line
Skills: Interpreting a graph

Una volta nota la derivata $f'(x_0)$, cioè la pendenza, l’equazione della retta tangente si scrive con la formula del fascio di rette per un punto.

Proprietà — La retta tangente

La retta tangente al grafico di $f$ nel punto $A(x_0, f(x_0))$ ha equazione: $y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0).$ La retta normale (perpendicolare alla tangente) ha pendenza $-1/f'(x_0)$.

Esempio — Tangente alla parabola

Trovare la tangente al grafico di $y = \dfrac{x^2}{2}-3x+1$ nel punto con $x=2$.

Si calcola l’ordinata: $y(2) = 2-6+1 = -3$, quindi $A(2;-3)$. La derivata è $y' = x-3$, da cui $y'(2) = -1$, cioè $m=-1$.

Tangente: $y+3 = -(x-2)$, ovvero $\boxed{y = -x-1}$.

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Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Retta · Retta normale · Retta tangente
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Once the derivative $f'(x_0)$, that is the slope, is known, the equation of the tangent line is written using the formula for the pencil of lines through a point.

Property — The tangent line

The tangent line to the graph of $f$ at the point $A(x_0, f(x_0))$ has equation: $y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0).$ The normal line (perpendicular to the tangent) has slope $-1/f'(x_0)$.

Example — Tangent to the parabola

Find the tangent to the graph of $y = \dfrac{x^2}{2}-3x+1$ at the point with $x=2$.

Compute the ordinate: $y(2) = 2-6+1 = -3$, so $A(2;-3)$. The derivative is $y' = x-3$, whence $y'(2) = -1$, that is $m=-1$.

Tangent: $y+3 = -(x-2)$, that is $\boxed{y = -x-1}$.

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Concepts: Derivative · Line · Normal line · Tangent line
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Quando, verso il 1684, Newton e Leibniz diedero forma sistematica al calcolo, il problema di tracciare la tangente a una curva era già stato affrontato con metodi sorprendentemente moderni. Due protagonisti di questa “preistoria” della derivata sono Pierre de Fermat e Isaac Barrow.

L’adequatio di Fermat

Già intorno al 1636 Fermat aveva un metodo per determinare massimi, minimi e tangenti. L’idea, che egli chiamò adaequalitas (parola presa dal greco di Diofanto), consiste nel confrontare il valore della funzione in $x$ e in un punto vicino $x+E$, trattando i due valori come “quasi uguali” e infine ponendo $E=0$.

Per cercare il massimo dell’area $f(x)=bx-x^2$ di un rettangolo di perimetro fissato, Fermat pone l’adequatio $f(x+E)\approx f(x),$ cioè $b(x+E)-(x+E)^2 \approx bx-x^2 .$ Sviluppando e semplificando i termini uguali si ottiene $bE-2xE-E^2\approx 0$; dividendo per $E$, $b-2x-E\approx 0,$ e infine, ponendo $E=0$, si trova $x=\dfrac{b}{2}$. È esattamente il risultato che oggi otteniamo annullando la derivata $f'(x)=b-2x$: il passaggio “dividi per $E$, poi poni $E=0$” è, in forma embrionale, il limite del rapporto incrementale.

Il triangolo differenziale di Barrow

Isaac Barrow, primo titolare della cattedra lucasiana a Cambridge e maestro di Newton, nelle sue Lectiones Geometricae (1670) costruì le tangenti tramite un piccolo “triangolo differenziale” di lati $a$ e $e$: incrementi infinitesimi dell’ordinata e dell’ascissa il cui rapporto $a/e$ fornisce la pendenza della tangente. È la stessa figura del nostro rapporto $\Delta f/\Delta x$, e prepara direttamente il terreno alla derivata come limite.

Questi metodi restavano però legati al singolo problema geometrico: il salto di Newton e Leibniz fu riconoscere che dietro tangenti, velocità e aree si nascondeva un unico algoritmo — il calcolo — con regole generali e una notazione efficiente (Boyer, Katz).

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Argomenti: Derivate
Concetti: Retta · Retta tangente
Persone: Diofanto di Alessandria · Pierre de Fermat · Isaac Barrow

When, around 1684, Newton and Leibniz gave the calculus its systematic form, the problem of drawing the tangent to a curve had already been tackled with surprisingly modern methods. Two protagonists of this “prehistory” of the derivative are Pierre de Fermat and Isaac Barrow.

Fermat’s adequality

As early as around 1636 Fermat had a method for finding maxima, minima and tangents. The idea, which he called adaequalitas (a word borrowed from the Greek of Diophantus), consists in comparing the value of the function at $x$ and at a nearby point $x+E$, treating the two values as “almost equal” and finally setting $E=0$.

To find the maximum of the area $f(x)=bx-x^2$ of a rectangle of fixed perimeter, Fermat sets up the adequality $f(x+E)\approx f(x),$ that is $b(x+E)-(x+E)^2 \approx bx-x^2 .$ Expanding and cancelling the equal terms gives $bE-2xE-E^2\approx 0$; dividing by $E$, $b-2x-E\approx 0,$ and finally, setting $E=0$, one finds $x=\dfrac{b}{2}$. This is exactly the result we obtain today by setting the derivative $f'(x)=b-2x$ to zero: the step “divide by $E$, then set $E=0$” is, in embryonic form, the limit of the difference quotient.

Barrow’s differential triangle

Isaac Barrow, the first holder of the Lucasian chair at Cambridge and Newton’s teacher, in his Lectiones Geometricae (1670) constructed tangents by means of a small “differential triangle” with sides $a$ and $e$: infinitesimal increments of the ordinate and of the abscissa whose ratio $a/e$ gives the slope of the tangent. It is the very figure of our ratio $\Delta f/\Delta x$, and it directly paves the way to the derivative as a limit.

These methods, however, remained tied to the individual geometric problem: the leap made by Newton and Leibniz was to recognise that behind tangents, velocities and areas lay a single algorithm — the calculus — with general rules and an efficient notation (Boyer, Katz).

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Topics: Derivatives
Concepts: Tangent line
People: Pierre de Fermat · Isaac Barrow · Diophantus of Alexandria