Circonferenza goniometrica e funzioni seno, coseno, tangente

In Seconda avevamo incontrato il seno e il coseno come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo, definiti solo per angoli acuti. In Quarta facciamo un salto qualitativo: trasformiamo il seno e il coseno in vere e proprie funzioni di una variabile reale, definite per qualsiasi angolo, anche negativo o maggiore di un angolo giro. L’oggetto chiave è la circonferenza goniometrica, la circonferenza di raggio $1$ centrata nell’origine. Il capitolo introduce la misura degli angoli in radianti, definisce $\sin,\cos,\tan$ come coordinate di un punto sulla circonferenza, ne studia valori notevoli, periodicità, grafici e archi associati, presenta le funzioni inverse $\arcsin,\arccos,\arctan$ e si chiude con le coordinate polari, un secondo linguaggio per descrivere i punti del piano.

Sezioni

• Angoli in radianti
• La circonferenza goniometrica
• Definizione di seno, coseno, tangente
• Valori notevoli
• Periodicità
• Grafici delle funzioni goniometriche
• Archi associati
• Funzioni inverse: arcsen, arccos, arctan
• Coordinate polari nel piano

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In Year 2 we had met the sine and cosine as ratios between the sides of a right-angled triangle, defined only for acute angles. In Year 4 we make a qualitative leap: we turn the sine and cosine into genuine functions of a real variable, defined for any angle, even negative or greater than a full turn. The key object is the unit circle, the circle of radius $1$ centred at the origin. The chapter introduces the measurement of angles in radians, defines $\sin,\cos,\tan$ as the coordinates of a point on the circle, studies their notable values, periodicity, graphs and associated arcs, presents the inverse functions $\arcsin,\arccos,\arctan$ and closes with polar coordinates, a second language for describing the points of the plane.

Sezioni

• Angles in radians
• The unit circle
• Definition of sine, cosine, tangent
• Notable values
• Periodicity
• Graphs of the trigonometric functions
• Associated arcs
• Inverse functions: arcsin, arccos, arctan
• Polar coordinates in the plane

Esercizi

• All the worked exercises of the chapter

Alcuni angoli ricorrono così spesso che conviene conoscerne a memoria i valori di seno, coseno e tangente.

In sintesi — Tabella degli angoli notevoli

	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sin$	$0$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$0$
$\tan$	$0$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\nexists$

Questi valori si ricavano dalle proprietà dei triangoli notevoli già viste in Seconda: il triangolo equilatero (per $\pi/6$ e $\pi/3$) e il triangolo rettangolo isoscele (per $\pi/4$).

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Angoli notevoli · Coseno · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Usare formule

Some angles recur so often that it is worth knowing by heart their values of sine, cosine and tangent.

In brief — Table of notable angles

	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sin$	$0$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$0$
$\tan$	$0$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\nexists$

These values are obtained from the properties of the notable triangles already seen in Year Two: the equilateral triangle (for $\pi/6$ and $\pi/3$) and the isosceles right triangle (for $\pi/4$).

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Notable angles · Cosine · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Using formulae

Poiché il punto $P_\alpha$ ritorna nella stessa posizione dopo ogni giro completo, seno e coseno si ripetono a intervalli regolari: sono funzioni periodiche.

Proprietà — Periodicità

Le funzioni $\sin$ e $\cos$ sono periodiche di periodo $2\pi$: per ogni $\alpha\in\mathbb{R}$ e ogni $k\in\mathbb{Z}$, $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha,\qquad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha.$ La tangente è invece periodica di periodo $\pi$: $\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha.$

Dimostrazione

Un incremento di $2\pi$ dell’angolo corrisponde a un giro completo sulla circonferenza goniometrica: il punto $P_\alpha$ ritorna nella stessa posizione, quindi le sue coordinate (seno e coseno) non cambiano. Per la tangente basta osservare che $\tan(\alpha+\pi) = \dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)} = \dfrac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \tan\alpha$ (usando le formule di riduzione degli archi associati). ∎

Il segno di $\sin$ dipende dall’ordinata, quello di $\cos$ dall’ascissa, quello di $\tan$ dal loro rapporto (positivo nel primo e terzo quadrante, negativo nel secondo e quarto).

Tabella visiva dei segni sui quattro quadranti.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coseno · Periodicita · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Dimostrare

Since the point $P_\alpha$ returns to the same position after every complete turn, sine and cosine repeat at regular intervals: they are periodic functions.

Property — Periodicity

The functions $\sin$ and $\cos$ are periodic with period $2\pi$: for every $\alpha\in\mathbb{R}$ and every $k\in\mathbb{Z}$, $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha,\qquad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha.$ The tangent is instead periodic with period $\pi$: $\tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha.$

Proof

An increase of $2\pi$ in the angle corresponds to a complete turn on the unit circle: the point $P_\alpha$ returns to the same position, so its coordinates (sine and cosine) do not change. For the tangent it is enough to observe that $\tan(\alpha+\pi) = \dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\cos(\alpha+\pi)} = \dfrac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \tan\alpha$ (using the reduction formulae for associated arcs). ∎

The sign of $\sin$ depends on the ordinate, that of $\cos$ on the abscissa, that of $\tan$ on their ratio (positive in the first and third quadrants, negative in the second and fourth).

Visual table of the signs over the four quadrants.

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Cosine · Periodicity · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Proving