Geometria sintetica nello spazio

Nel capitolo precedente lo spazio è stato studiato tramite coordinate: equazioni, vettori, formule. Qui invece lo affrontiamo con la geometria sintetica: assiomi, relazioni tra rette e piani e, soprattutto, i solidi — le figure tridimensionali che si possono misurare in termini di volume e superficie. Partiamo dalla perpendicolarità tra retta e piano e dal teorema delle tre perpendicolari, passiamo agli angoli diedri, poi ai poliedri (prismi, parallelepipedi, piramidi) e ai solidi di rotazione (cilindro, cono, sfera), studiandone volumi e superfici. Chiudono il capitolo la similitudine tra solidi con il teorema di Talete nello spazio, i cinque solidi platonici e la formula di Eulero.

Sezioni

• Perpendicolarità tra rette e piani
• Angolo diedro
• Prismi e parallelepipedi
• Piramidi
• Similitudine tra solidi e teorema di Talete
• Il cilindro
• Cono
• La sfera
• Solidi platonici e formula di Eulero

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

In the previous chapter space was studied through coordinates: equations, vectors, formulae. Here instead we approach it with synthetic geometry: axioms, relations between lines and planes and, above all, the solids — the three-dimensional figures that can be measured in terms of volume and surface area. We start from perpendicularity between a line and a plane and from the theorem of the three perpendiculars, move on to dihedral angles, then to polyhedra (prisms, parallelepipeds, pyramids) and to solids of revolution (cylinder, cone, sphere), studying their volumes and surface areas. The chapter closes with the similarity of solids together with Thales’ theorem in space, the five Platonic solids and Euler’s formula.

Sezioni

• Perpendicularity between lines and planes
• Dihedral angle
• Prisms and parallelepipeds
• Pyramids
• Similarity of solids and Thales’ theorem
• The cylinder
• Cone
• The sphere
• Platonic solids and Euler’s formula

Esercizi

• All the worked exercises of the chapter

Il cilindro è il primo dei solidi di rotazione: si ottiene facendo ruotare un rettangolo attorno a uno dei suoi lati.

Proprietà — Cilindro retto

Cilindro retto (ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno a un lato), di raggio $r$ e altezza $h$:

• $V = \pi r^2 h$   (si comporta come un prisma retto con base circolare)
• $S_{\text{lat}} = 2\pi r h$
• $S_{\text{tot}} = 2\pi r(r+h)$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cilindro · Solidi di rotazione · Superficie · Volume
Competenze: Usare formule

The cylinder is the first of the solids of revolution: it is obtained by rotating a rectangle about one of its sides.

Property — Right cylinder

Right cylinder (obtained by rotating a rectangle about a side), of radius $r$ and height $h$:

• $V = \pi r^2 h$   (it behaves like a right prism with a circular base)
• $S_{\text{lat}} = 2\pi r h$
• $S_{\text{tot}} = 2\pi r(r+h)$

Links

Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Cylinder · Solids of revolution · Surface area · Volume
Skills: Using formulas