Geometria analitica nello spazio

Fino alla Terza abbiamo lavorato nel piano cartesiano: due assi, due coordinate. In Quarta facciamo il salto dimensionale e introduciamo il sistema di coordinate nello spazio: tre assi $x,y,z$ perpendicolari tra loro (che rispettano la regola della mano destra: pollice $\to x$, indice $\to y$, medio $\to z$), e ogni punto identificato da una terna ordinata $(x,y,z)$. Gran parte dell’intuizione e delle formule del piano si estende, ma compaiono novità concettuali importanti: il piano diventa un oggetto (non più l’ambiente), le posizioni reciproche sono più ricche (due rette possono essere sghembe) e serve uno strumento nuovo — il prodotto vettoriale — per lavorare con le perpendicolarità in tre dimensioni. Il capitolo percorre coordinate e distanze, i vettori con i loro prodotti scalare e vettoriale, l’equazione del piano e i fasci di piani, la retta, le posizioni reciproche, le formule delle distanze e infine la sfera.

Sezioni

• Coordinate, punti, distanze
• Vettori nello spazio
• Il piano
• La retta nello spazio
• Posizioni reciproche di due rette
• Distanze
• Posizioni reciproche retta-piano e angoli
• Sfera

Approfondimenti

• Talete nello spazio

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

Up to Year 11 we worked in the Cartesian plane: two axes, two coordinates. In Year 12 we make the dimensional leap and introduce the coordinate system in space: three mutually perpendicular axes $x,y,z$ (which respect the right-hand rule: thumb $\to x$, index $\to y$, middle finger $\to z$), and each point identified by an ordered triple $(x,y,z)$. Much of the intuition and the formulae of the plane carry over, but important conceptual novelties appear: the plane becomes an object (no longer the ambient space), the relative positions are richer (two lines can be skew) and a new tool is needed — the cross product — to work with perpendicularities in three dimensions. The chapter runs through coordinates and distances, vectors with their scalar and cross products, the equation of the plane and pencils of planes, the line, relative positions, the distance formulae and finally the sphere.

Sezioni

• Coordinates, points, distances
• Vectors in space
• The plane
• The line in space
• Relative positions of two lines
• Distances
• Relative positions line-plane and angles
• Sphere

Approfondimenti

• Thales in space

Esercizi

• All the exercises of the chapter

In sintesi — Retta e piano

Data la retta $r$ di direzione $\vec v$ e il piano $\pi$ di normale $\vec n$:

• Coincidenti: la retta giace nel piano (identità nel sistema).
• Incidenti: un solo punto di intersezione; l’angolo retta–piano soddisfa $\sin\alpha = \dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}$.
• Paralleli: nessun punto comune ($\vec v\cdot\vec n=0$ ma $P_0\notin\pi$).

L’angolo diedro tra due piani è l’angolo tra i loro vettori normali: $\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$.

Attenzione alla differenza: per l’angolo retta–piano compare il seno (la retta forma con il piano l’angolo complementare a quello con la normale), mentre per l’angolo tra due piani compare il coseno dei vettori normali.

La retta $r$ incide sul piano $\pi$; $\alpha$ è l’angolo retta–piano, $\vec n$ la normale.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Angolo diedro · Piano · Prodotto scalare · Retta · Retta nello spazio
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Usare formule

In brief — Line and plane

Given the line $r$ with direction $\vec v$ and the plane $\pi$ with normal $\vec n$:

• Coincident: the line lies in the plane (identity in the system).
• Incident: a single point of intersection; the line–plane angle satisfies $\sin\alpha = \dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}$.
• Parallel: no common point ($\vec v\cdot\vec n=0$ but $P_0\notin\pi$).

The dihedral angle between two planes is the angle between their normal vectors: $\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$.

Mind the difference: for the line–plane angle the sine appears (the line forms with the plane the angle complementary to the one with the normal), whereas for the angle between two planes the cosine of the normal vectors appears.

The line $r$ is incident on the plane $\pi$; $\alpha$ is the line–plane angle, $\vec n$ the normal.

Links

Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Dihedral angle · Plane · Dot product · Line · Line in space
Skills: Analytic geometry · Reasoning by cases · Using formulae