Sfera

La sfera è il luogo dei punti equidistanti dal centro: la sua equazione è l’analogo tridimensionale della circonferenza. Studiamo la sua forma canonica e sviluppata, le posizioni reciproche con un piano (esterno, tangente, secante, con la sezione circolare) e l’equazione del piano tangente in un suo punto.

• Equazione della sfera
• Sfera e piano
• Piano tangente alla sfera

The sphere is the locus of points equidistant from the centre: its equation is the three-dimensional analogue of the circle. We study its canonical and expanded forms, the relative positions with a plane (external, tangent, secant, with the circular section) and the equation of the tangent plane at one of its points.

• Equation of the sphere
• Sphere and plane
• Tangent plane to the sphere

La sfera è l’analogo tridimensionale della circonferenza: il luogo dei punti equidistanti dal centro.

Proprietà — Equazione della sfera

Sfera di centro $C(x_0,y_0,z_0)$ e raggio $R$: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$ In forma sviluppata $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ si ha $C\left(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{b}{2},-\tfrac{c}{2}\right), \qquad R=\sqrt{x_C^2+y_C^2+z_C^2-d}.$

Esempio

Sia $2x^2+2y^2+2z^2+6x+8y-2z+4=0$. Dividendo per $2$: $x^2+y^2+z^2+3x+4y-z+2=0$. Quindi $C\left(-\tfrac32;-2;\tfrac12\right), \qquad R=\sqrt{\tfrac94+4+\tfrac14-2}=\sqrt{4{,}5}=\frac{3\sqrt2}{2}.$

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Sfera
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

The sphere is the three-dimensional analogue of the circle: the locus of points equidistant from the centre.

Property — Equation of the sphere

Sphere with centre $C(x_0,y_0,z_0)$ and radius $R$: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$ In expanded form $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ one has $C\left(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{b}{2},-\tfrac{c}{2}\right), \qquad R=\sqrt{x_C^2+y_C^2+z_C^2-d}.$

Example

Let $2x^2+2y^2+2z^2+6x+8y-2z+4=0$. Dividing by $2$: $x^2+y^2+z^2+3x+4y-z+2=0$. Then $C\left(-\tfrac32;-2;\tfrac12\right), \qquad R=\sqrt{\tfrac94+4+\tfrac14-2}=\sqrt{4{,}5}=\frac{3\sqrt2}{2}.$

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Sphere
Skills: Analytic geometry · Using formulae

La posizione reciproca di una sfera e di un piano si stabilisce confrontando il raggio $R$ con la distanza $d$ del centro dal piano.

Proprietà — Posizioni reciproche sfera–piano

Sia $d=d(C,\pi)$:

• $d>R$: piano esterno alla sfera;
• $d=R$: piano tangente; il punto di contatto è il piede della perpendicolare da $C$ a $\pi$;
• $d<R$: piano secante; la sezione è un cerchio di raggio $r=\sqrt{R^2-d^2}$.

Sezione di una sfera con un piano secante: $R^2=d^2+r^2$.

Osservazione — Centro della sezione

Il centro della sezione circolare è il piede della perpendicolare da $C$ al piano: si scrive la retta per $C$ con direzione $\vec n$, la si mette a sistema col piano e si risolve.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Distanza punto piano · Piano cartesiano · Sezione circolare · Sfera
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Usare formule

The relative position of a sphere and a plane is established by comparing the radius $R$ with the distance $d$ of the centre from the plane.

Property — Relative positions of sphere–plane

Let $d=d(C,\pi)$:

• $d>R$: plane external to the sphere;
• $d=R$: plane tangent; the point of contact is the foot of the perpendicular from $C$ to $\pi$;
• $d<R$: plane secant; the section is a circle of radius $r=\sqrt{R^2-d^2}$.

Section of a sphere with a secant plane: $R^2=d^2+r^2$.

Remark — Centre of the section

The centre of the circular section is the foot of the perpendicular from $C$ to the plane: one writes the line through $C$ with direction $\vec n$, puts it in a system with the plane and solves.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Point-plane distance · Cartesian plane · Circular section · Sphere
Skills: Analytic geometry · Reasoning by cases · Using formulae

Proprietà — Piano tangente alla sfera

Il piano tangente alla sfera in un suo punto $D$ è perpendicolare al raggio $CD$ (dove $C$ è il centro), quindi ha equazione $(\vec S - \vec D)\cdot\vec{CD}=0.$

Il vettore $\vec{CD}$ funge da normale del piano tangente: la tangenza in $D$ equivale a chiedere che il piano sia perpendicolare al raggio in quel punto.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Piano · Piano tangente · Sfera
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Property — Tangent plane to the sphere

The plane tangent to the sphere at one of its points $D$ is perpendicular to the radius $CD$ (where $C$ is the centre), so it has equation $(\vec S - \vec D)\cdot\vec{CD}=0.$

The vector $\vec{CD}$ acts as the normal of the tangent plane: tangency at $D$ is equivalent to requiring the plane to be perpendicular to the radius at that point.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Plane · Tangent plane · Sphere
Skills: Analytic geometry · Using formulae