Coordinate polari nel piano

Un punto del piano può essere individuato non solo dalla coppia cartesiana $(x,y)$, ma anche dalla coppia polare $(\rho,\theta)$: la distanza dal polo e l’angolo con l’asse polare. Le coordinate polari sono particolarmente comode quando il problema ha una simmetria centrale, e sono il linguaggio naturale delle curve come cardioidi e spirali e, in seguito, dei numeri complessi.

• Che cosa sono le coordinate polari
• Conversione tra polari e cartesiane
• Due linguaggi per lo stesso punto
• Equazioni in coordinate polari
• Le coordinate polari e i numeri complessi

A point of the plane can be located not only by the Cartesian pair $(x,y)$, but also by the polar pair $(\rho,\theta)$: the distance from the pole and the angle with the polar axis. Polar coordinates are particularly convenient when the problem has central symmetry, and they are the natural language of curves such as cardioids and spirals and, later on, of complex numbers.

• What polar coordinates are
• Conversion between polar and Cartesian
• Two languages for the same point
• Equations in polar coordinates
• Polar coordinates and complex numbers

Fino a questo punto un punto del piano è stato individuato da una coppia $(x,y)$ di coordinate cartesiane. Esiste un’altra coppia naturale per descriverlo, particolarmente comoda quando il problema ha una simmetria centrale (cerchi, spirali, traiettorie attorno a un’origine): le coordinate polari.

Definizione — Coordinate polari

Fissato nel piano un punto $O$ (polo) e una semiretta uscente da $O$ (asse polare, di solito coincidente con il semiasse positivo delle $x$), le coordinate polari di un punto $P\ne O$ sono la coppia $(\rho,\theta)$ dove:

• $\rho = \overline{OP}\ge 0$ è la distanza di $P$ dal polo (raggio o modulo);
• $\theta\in[0,2\pi)$ (oppure $(-\pi,\pi]$) è l’angolo orientato che la semiretta $OP$ forma con l’asse polare (anomalia o argomento).

Per il polo stesso, $\rho = 0$ e $\theta$ è indefinito.

Il punto $P$ è individuato dalla distanza $\rho$ dal polo $O$ e dall’angolo $\theta$ con l’asse polare.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Anomalia · Coordinate cartesiane · Coordinate polari · Piano cartesiano · Raggio

Up to now a point of the plane has been located by a pair $(x,y)$ of Cartesian coordinates. There is another natural pair for describing it, particularly handy when the problem has a central symmetry (circles, spirals, trajectories about an origin): the polar coordinates.

Definition — Polar coordinates

Having fixed in the plane a point $O$ (pole) and a ray issuing from $O$ (polar axis, usually coinciding with the positive $x$-semiaxis), the polar coordinates of a point $P\ne O$ are the pair $(\rho,\theta)$ where:

• $\rho = \overline{OP}\ge 0$ is the distance of $P$ from the pole (radius or modulus);
• $\theta\in[0,2\pi)$ (or $(-\pi,\pi]$) is the oriented angle that the ray $OP$ makes with the polar axis (anomaly or argument).

For the pole itself, $\rho = 0$ and $\theta$ is undefined.

The point $P$ is located by the distance $\rho$ from the pole $O$ and by the angle $\theta$ with the polar axis.

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Anomaly · Cartesian coordinates · Polar coordinates · Cartesian plane · Radius

Le due descrizioni di un punto, polare e cartesiana, si convertono l’una nell’altra con seno, coseno e l’arcotangente.

Proprietà — Conversione polari ↔ cartesiane

\text{(polari} \to \text{cartesiane)}\quad & x = \rho\cos\theta, & y = \rho\sin\theta. \\ \text{(cartesiane} \to \text{polari)}\quad & \rho = \sqrt{x^2+y^2}, & \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\ \text{(con scelta del quadrante)}. \end{aligned}$$

Attenzione — Il quadrante nell'inversione

$\arctan(y/x)$ restituisce un angolo in $(-\pi/2, \pi/2)$: bisogna correggerlo guardando i segni di $x$ e $y$. In molti linguaggi (Python, C, MATLAB) esiste la funzione atan2$(y,x)$ che fa la cosa giusta restituendo $\theta\in(-\pi,\pi]$.

Esempio — Conversione nei due sensi

$P(x,y) = (1,\sqrt 3)$ in polari: $\rho = \sqrt{1+3} = 2$, $\theta = \arctan(\sqrt 3) = \pi/3$ (primo quadrante). Coordinate polari: $(2,\pi/3)$.

$Q(\rho,\theta) = (4,\,3\pi/4)$ in cartesiane: $x = 4\cos(3\pi/4) = -2\sqrt 2$, $y = 4\sin(3\pi/4) = 2\sqrt 2$. Quindi $Q = (-2\sqrt 2,\,2\sqrt 2)$.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Arcotangente · Coordinate cartesiane · Coordinate polari · Piano cartesiano
Metodi: Conversione polari cartesiano
Competenze: Calcolare · Ragionare per casi · Usare formule

The two descriptions of a point, polar and Cartesian, are converted into each other using sine, cosine and the arctangent.

Property — Conversion polar ↔ Cartesian

\text{(polar} \to \text{Cartesian)}\quad & x = \rho\cos\theta, & y = \rho\sin\theta. \\ \text{(Cartesian} \to \text{polar)}\quad & \rho = \sqrt{x^2+y^2}, & \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\ \text{(with a choice of quadrant)}. \end{aligned}$$

Warning — The quadrant in the inversion

$\arctan(y/x)$ returns an angle in $(-\pi/2, \pi/2)$: it must be corrected by looking at the signs of $x$ and $y$. In many languages (Python, C, MATLAB) there is the function atan2$(y,x)$ which does the right thing, returning $\theta\in(-\pi,\pi]$.

Example — Conversion both ways

$P(x,y) = (1,\sqrt 3)$ in polar: $\rho = \sqrt{1+3} = 2$, $\theta = \arctan(\sqrt 3) = \pi/3$ (first quadrant). Polar coordinates: $(2,\pi/3)$.

$Q(\rho,\theta) = (4,\,3\pi/4)$ in Cartesian: $x = 4\cos(3\pi/4) = -2\sqrt 2$, $y = 4\sin(3\pi/4) = 2\sqrt 2$. So $Q = (-2\sqrt 2,\,2\sqrt 2)$.

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Arctangent · Cartesian coordinates · Polar coordinates · Cartesian plane
Methods: Polar-Cartesian conversion
Skills: Calculating · Reasoning by cases · Using formulae

Osservazione — Due linguaggi per lo stesso punto

Cartesiane e polari sono due linguaggi diversi che parlano dello stesso oggetto geometrico (un punto del piano): la traduzione è biunivoca (salvo il polo, “parola intraducibile”). Un cerchio centrato nell’origine ha equazione $x^2+y^2=a^2$ in una lingua e $\rho=a$ nell’altra: la seconda è dieci volte più corta. Saper cambiare linguaggio è una competenza matematica chiave: come per le lingue naturali, alcune cose sono più facili da dire in una lingua piuttosto che nell’altra (Esty).

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coordinate cartesiane · Coordinate polari · Piano cartesiano

Remark — Two languages for the same point

Cartesian and polar are two different languages speaking of the same geometric object (a point of the plane): the translation is one-to-one (except for the pole, an “untranslatable word”). A circle centred at the origin has equation $x^2+y^2=a^2$ in one language and $\rho=a$ in the other: the second is ten times shorter. Being able to change language is a key mathematical skill: as with natural languages, some things are easier to say in one language rather than the other (Esty).

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Cartesian coordinates · Polar coordinates · Cartesian plane

Molte curve hanno un’equazione polare molto più semplice di quella cartesiana. Basta esprimere $\rho$ in funzione di $\theta$ (o imporre una condizione su di essi).

Proprietà — Curve elementari in coordinate polari

• Cerchio centrato nel polo, raggio $a$: $\rho = a$.
• Retta passante per il polo, inclinazione $\theta_0$: $\theta = \theta_0$.
• Retta perpendicolare all’asse polare a distanza $d$: $\rho\cos\theta = d$ (cioè $x = d$).
• Cerchio passante per il polo, di raggio $a$ e centro sull’asse polare: $\rho = 2a\cos\theta$.
• Cardioide: $\rho = a(1 + \cos\theta)$.
• Rosa a $4$ petali: $\rho = a\cos(2\theta)$ ($a>0$).
• Spirale di Archimede: $\rho = a\theta$, $\theta\ge 0$.
• Spirale logaritmica: $\rho = a\,e^{b\theta}$.

Cardioide $\rho = 1+\cos\theta$.

Rosa a $4$ petali $\rho = \cos(2\theta)$.

Spirale di Archimede $\rho = \theta$.

Esempio — Da polare a cartesiano: il cerchio $\rho = 2a\cos\theta$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $\rho$: $\rho^2 = 2a\rho\cos\theta$, cioè $x^2+y^2 = 2ax$. Riscrivendo: $(x-a)^2 + y^2 = a^2$: è il cerchio di centro $(a,0)$ e raggio $a$, passante per l’origine.

Esempio — Da cartesiano a polare: la retta $y = x$

Sostituendo $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$: $\rho\sin\theta = \rho\cos\theta$, cioè $\tan\theta = 1$, da cui $\theta = \pi/4$ (una semiretta) oppure $\theta = -3\pi/4$ (l’altra semiretta).

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Cardioide · Coordinate polari · Equazione polare · Piano cartesiano · Spirale
Metodi: Equazione polare
Competenze: Tracciare grafico · Usare formule

Many curves have a polar equation far simpler than their Cartesian one. It is enough to express $\rho$ as a function of $\theta$ (or to impose a condition relating them).

Property — Elementary curves in polar coordinates

• Circle centred at the pole, radius $a$: $\rho = a$.
• Line through the pole, inclination $\theta_0$: $\theta = \theta_0$.
• Line perpendicular to the polar axis at distance $d$: $\rho\cos\theta = d$ (that is, $x = d$).
• Circle through the pole, of radius $a$ and centre on the polar axis: $\rho = 2a\cos\theta$.
• Cardioid: $\rho = a(1 + \cos\theta)$.
• $4$-petal rose: $\rho = a\cos(2\theta)$ ($a>0$).
• Archimedean spiral: $\rho = a\theta$, $\theta\ge 0$.
• Logarithmic spiral: $\rho = a\,e^{b\theta}$.

Cardioid $\rho = 1+\cos\theta$.

$4$-petal rose $\rho = \cos(2\theta)$.

Archimedean spiral $\rho = \theta$.

Example — From polar to Cartesian: the circle $\rho = 2a\cos\theta$

Multiply both sides by $\rho$: $\rho^2 = 2a\rho\cos\theta$, that is $x^2+y^2 = 2ax$. Rewriting: $(x-a)^2 + y^2 = a^2$: it is the circle of centre $(a,0)$ and radius $a$, passing through the origin.

Example — From Cartesian to polar: the line $y = x$

Substituting $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$: $\rho\sin\theta = \rho\cos\theta$, that is $\tan\theta = 1$, whence $\theta = \pi/4$ (one ray) or $\theta = -3\pi/4$ (the other ray).

Links

Topics: Goniometry
Concepts: Cardioid · Polar coordinates · Polar equation · Cartesian plane · Spiral
Methods: Polar equation
Skills: Plotting a graph · Using formulae

Osservazione — Anticipazione: numeri complessi

Nel capitolo sui numeri complessi la coordinata polare di $z = x+iy$ è proprio la coppia $(\rho,\theta)$: $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta) = \rho\,e^{i\theta}$ (forma di Eulero). Le coordinate polari sono dunque il linguaggio naturale per moltiplicare ed elevare a potenza i numeri complessi.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coordinate polari · Numeri complessi · Piano cartesiano

Remark — A look ahead: complex numbers

In the chapter on complex numbers the polar coordinate of $z = x+iy$ is precisely the pair $(\rho,\theta)$: $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta) = \rho\,e^{i\theta}$ (Euler’s form). Polar coordinates are therefore the natural language for multiplying complex numbers and raising them to powers.

Links

Topics: Goniometry
Concepts: Polar coordinates · Complex numbers · Cartesian plane