Iperbole e funzione omografica

L’iperbole è la terza conica non degenere. La sua definizione è simile a quella dell’ellisse, ma con una differenza che cambia tutto: invece della somma delle distanze dai due fuochi si considera la loro differenza (in valore assoluto). Da qui nasce una curva a due rami che si avvicinano indefinitamente a due rette, gli asintoti. Il capitolo introduce la definizione come luogo geometrico e l’equazione canonica $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, gli elementi caratteristici (fuochi, vertici, asintoti, eccentricità), il caso particolare dell’iperbole equilatera e la sua forma $xy=k$ (la vecchia proporzionalità inversa), la funzione omografica $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ con i suoi asintoti paralleli agli assi, e infine il riconoscimento delle iperboli traslate col completamento del quadrato.

Sezioni

• Definizione
• Elementi e asintoti
• Iperbole equilatera
• Funzione omografica
• Iperboli traslate e non equilatere

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

The hyperbola is the third non-degenerate conic. Its definition is similar to that of the ellipse, but with a difference that changes everything: instead of the sum of the distances from the two foci one considers their difference (in absolute value). From this arises a two-branch curve whose branches approach two straight lines indefinitely, the asymptotes. The chapter introduces the definition as a locus and the canonical equation $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, the characteristic elements (foci, vertices, asymptotes, eccentricity), the special case of the rectangular hyperbola and its form $xy=k$ (the old inverse proportionality), the homographic function $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ with its asymptotes parallel to the axes, and finally the recognition of translated hyperbolas by completing the square.

Sections

• Definition
• Elements and asymptotes
• Rectangular hyperbola
• Homographic function
• Translated and non-rectangular hyperbolas

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Come per l’ellisse, un’iperbole con assi paralleli agli assi cartesiani ma centro in $(x_0;y_0)$ ha forma $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ e si riconosce col completamento del quadrato a partire da $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0,$ con $A,B$ di segno opposto (è proprio il segno opposto dei coefficienti dei termini quadratici a caratterizzare l’iperbole, distinguendola dall’ellisse dove hanno lo stesso segno).

Se $a \ne b$ l’iperbole non è equilatera e gli asintoti sono $y - y_0 = \pm \tfrac{b}{a}(x - x_0).$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Completamento del quadrato · Conica · Iperbole · Traslazione
Funzioni: Iperbole
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

As for the ellipse, a hyperbola with axes parallel to the Cartesian axes but centre at $(x_0;y_0)$ has the form $\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$ and is recognised by completing the square starting from $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0,$ with $A,B$ of opposite sign (it is precisely the opposite sign of the coefficients of the quadratic terms that characterises the hyperbola, distinguishing it from the ellipse where they have the same sign).

If $a \ne b$ the hyperbola is not rectangular and the asymptotes are $y - y_0 = \pm \tfrac{b}{a}(x - x_0).$

Links

Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Asymptote · Completing the square · Conic · Hyperbola · Translation
Functions: Hyperbola
Skills: Analytic geometry · Using formulae