Formule di bisezione

Invertendo le formule di duplicazione del coseno si ottengono le formule di bisezione, che esprimono $\sin(\alpha/2)$ e $\cos(\alpha/2)$ in funzione del solo $\cos\alpha$. Compare un doppio segno $\pm$, da scegliere in base al quadrante in cui cade $\alpha/2$.

• Le formule di bisezione
• Dimostrazione delle formule di bisezione
• Esempio: coseno di 15°

By inverting the cosine duplication formulae we obtain the bisection formulae, which express $\sin(\alpha/2)$ and $\cos(\alpha/2)$ in terms of $\cos\alpha$ alone. A double sign $\pm$ appears, to be chosen according to the quadrant in which $\alpha/2$ falls.

• The bisection formulae
• Proof of the bisection formulae
• Example: cosine of 15°

Dalle formule di duplicazione si ricavano le formule di bisezione, che esprimono $\sin(\alpha/2)$ e $\cos(\alpha/2)$ in funzione di $\cos\alpha$.

Proprietà — Formule di bisezione

\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.$$ Il segno "$\pm$" va scelto caso per caso in base al quadrante in cui si trova $\alpha/2$: se è nel primo o secondo quadrante, $\sin(\alpha/2)\ge 0$; se è nel primo o quarto, $\cos(\alpha/2)\ge 0$. Per la tangente: $$\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},$$ forme equivalenti ottenute moltiplicando numeratore e denominatore per il rispettivo coniugato.

Visualizzazione: l’angolo $\alpha/2$ è metà dell’angolo $\alpha$, letto sulla stessa circonferenza goniometrica; le formule di bisezione esprimono seno e coseno di $P_{\alpha/2}$ a partire dalla coordinata $x$ di $P_\alpha$ (cioè $\cos\alpha$).

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Formule di bisezione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule bisezione
Competenze: Usare formule

From the duplication formulae we derive the bisection formulae, which express $\sin(\alpha/2)$ and $\cos(\alpha/2)$ in terms of $\cos\alpha$.

Property — Bisection formulae

\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.$$ The sign "$\pm$" must be chosen case by case according to the quadrant in which $\alpha/2$ lies: if it is in the first or second quadrant, $\sin(\alpha/2)\ge 0$; if it is in the first or fourth, $\cos(\alpha/2)\ge 0$. For the tangent: $$\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},$$ equivalent forms obtained by multiplying numerator and denominator by the respective conjugate.

Visualisation: the angle $\alpha/2$ is half of the angle $\alpha$, read on the same unit circle; the bisection formulae express the sine and cosine of $P_{\alpha/2}$ starting from the $x$-coordinate of $P_\alpha$ (that is, $\cos\alpha$).

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Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Unit circle · Bisection formulae · Duplication formulae
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Methods: Bisection formulae
Skills: Using formulae

Le formule di bisezione non sono altro che le formule di duplicazione del coseno “lette al contrario”, con la variabile $\alpha/2$ al posto di $\alpha$.

Dimostrazione — Formule di bisezione

Dalla formula di duplicazione $\cos\alpha = 1-2\sin^2(\alpha/2)$ si ricava $\sin^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{2},$ da cui, estraendo la radice quadrata, si ottiene la formula per $\sin(\alpha/2)$ con il segno da determinare in base al quadrante. Analogamente, dalla forma $\cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2) - 1$ si ricava $\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1+\cos\alpha}{2},$ e quindi la formula per $\cos(\alpha/2)$. $\qquad \blacksquare$

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di bisezione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule bisezione
Competenze: Dimostrare

The bisection formulae are nothing but the cosine duplication formulae “read backwards”, with the variable $\alpha/2$ in place of $\alpha$.

Proof — Bisection formulae

From the duplication formula $\cos\alpha = 1-2\sin^2(\alpha/2)$ we obtain $\sin^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{2},$ from which, taking the square root, we get the formula for $\sin(\alpha/2)$ with the sign to be determined according to the quadrant. Analogously, from the form $\cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2) - 1$ we obtain $\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1+\cos\alpha}{2},$ and hence the formula for $\cos(\alpha/2)$. $\qquad \blacksquare$

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Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Bisection formulae · Duplication formulae
Functions: Cosine · Sine
Methods: Bisection formulae
Skills: Proving

Le formule di bisezione permettono di calcolare i valori goniometrici della metà di un angolo notevole.

Esempio — Coseno di 15°

Poiché $15° = 30°/2$, applichiamo la formula di bisezione del coseno: $\cos(15°) = \sqrt{\frac{1+\cos 30°}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \boxed{\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}.$ Il segno è positivo perché $15°$ appartiene al primo quadrante, dove il coseno è positivo.

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Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di bisezione
Funzioni: Coseno
Metodi: Formule bisezione
Competenze: Calcolare · Usare formule

The bisection formulae allow us to compute the trigonometric values of half of a special angle.

Example — Cosine of 15°

Since $15° = 30°/2$, we apply the bisection formula for the cosine: $\cos(15°) = \sqrt{\frac{1+\cos 30°}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \boxed{\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}.$ The sign is positive because $15°$ lies in the first quadrant, where the cosine is positive.

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Topics: Trigonometric formulae
Concepts: Bisection formulae
Functions: Cosine
Methods: Bisection formulae
Skills: Calculating · Using formulae