Area di un triangolo

La trigonometria fornisce una formula compatta per l’area di un triangolo: metà del prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso. Da questa formula, combinata con il teorema del coseno, discende come corollario la celebre formula di Erone, che esprime l’area in funzione dei soli lati.

• Formula trigonometrica dell’area
• Dimostrazione della formula dell’area
• La formula di Erone come corollario

Trigonometry provides a compact formula for the area of a triangle: half the product of two sides times the sine of the included angle. From this formula, combined with the cosine rule, follows as a corollary the celebrated Heron’s formula, which expresses the area in terms of the sides alone.

• Trigonometric formula for the area
• Proof of the area formula
• Heron’s formula as a corollary

Conoscendo due lati di un triangolo e l’angolo compreso, l’area si calcola immediatamente con una formula trigonometrica.

Proprietà — Formula di trigonometria per l'area

L’area di un triangolo $ABC$ è: $S = \tfrac{1}{2}\,bc\sin\widehat{A} = \tfrac{1}{2}\,ac\sin\widehat{B} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin\widehat{C}.$ “L’area è metà del prodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso.”

Il triangolo con la sua circonferenza circoscritta di raggio $R$.

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Area triangolo · Risoluzione triangoli
Funzioni: Seno
Competenze: Usare formule

Knowing two sides of a triangle and the included angle, the area is worked out at once with a trigonometric formula.

Property — Trigonometric formula for the area

The area of a triangle $ABC$ is: $S = \tfrac{1}{2}\,bc\sin\widehat{A} = \tfrac{1}{2}\,ac\sin\widehat{B} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin\widehat{C}.$ “The area is half the product of two sides times the sine of the included angle.”

The triangle with its circumscribed circle of radius $R$.

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Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Triangle area · Triangle solving
Functions: Sine
Skills: Using formulae

La formula trigonometrica dell’area si ricava dalla familiare “base per altezza diviso due”, esprimendo l’altezza con il seno.

Dimostrazione

L’area di un triangolo è $S = \tfrac12\,\text{base}\cdot\text{altezza}$. Prendiamo come base $c = AB$ e come altezza la perpendicolare da $C$ ad $AB$: questa perpendicolare ha lunghezza $b\sin\widehat{A}$ (è il cateto opposto a $\widehat{A}$ nel triangolo rettangolo formato dalla perpendicolare e dal lato $AC$). Quindi $S = \tfrac12\,c\cdot b\sin\widehat{A}. \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Area triangolo
Funzioni: Seno
Competenze: Dimostrare

The trigonometric formula for the area is derived from the familiar “base times height divided by two”, expressing the height with the sine.

Proof

The area of a triangle is $S = \tfrac12\,\text{base}\cdot\text{height}$. Take $c = AB$ as the base and the perpendicular from $C$ to $AB$ as the height: this perpendicular has length $b\sin\widehat{A}$ (it is the side opposite $\widehat{A}$ in the right-angled triangle formed by the perpendicular and the side $AC$). Hence $S = \tfrac12\,c\cdot b\sin\widehat{A}. \qquad \blacksquare$

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Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Triangle area
Functions: Sine
Skills: Proving

Combinando la formula trigonometrica dell’area con il teorema del coseno si arriva a una delle formule più famose della geometria: quella di Erone, che esprime l’area di un triangolo in funzione dei soli lati.

Osservazione — Formula di Erone come corollario

Combinando il teorema del coseno e la formula dell’area si può ricavare la formula di Erone $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \qquad s = \frac{a+b+c}{2} \ \text{(semiperimetro).}$ La dimostrazione è algebricamente laboriosa ma non concettualmente difficile: si isola $\cos\widehat{A}$ dal teorema del coseno, lo si sostituisce in $\sin^2\widehat{A}=1-\cos^2\widehat{A}$, e si esprime $S^2 = \left(\tfrac{1}{2}bc\sin\widehat{A}\right)^2$ in funzione di $a,b,c$. Ne parliamo negli esercizi.

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Area triangolo · Formula di erone · Teorema del coseno
Competenze: Dimostrare

Combining the trigonometric formula for the area with the cosine rule, we arrive at one of the most famous formulae in geometry: Heron’s formula, which expresses the area of a triangle in terms of the sides alone.

Remark — Heron's formula as a corollary

Combining the cosine rule and the area formula we can derive Heron’s formula $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \qquad s = \frac{a+b+c}{2} \ \text{(semiperimeter).}$ The proof is algebraically laborious but not conceptually difficult: one isolates $\cos\widehat{A}$ from the cosine rule, substitutes it into $\sin^2\widehat{A}=1-\cos^2\widehat{A}$, and expresses $S^2 = \left(\tfrac{1}{2}bc\sin\widehat{A}\right)^2$ in terms of $a,b,c$. We discuss it in the exercises.

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Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Triangle area · Heron’s formula · Cosine rule
Skills: Proving