Triangoli simili

Due triangoli sono simili quando hanno la stessa forma: angoli congruenti e lati corrispondenti in proporzione. Basta un solo criterio — due angoli congruenti — per garantire la similitudine. Da qui discendono le leggi di scala che regolano come cambiano segmenti, aree e volumi al variare del rapporto di similitudine $k$.

• Triangoli simili
• Primo criterio di similitudine
• Leggi di scala per figure simili

Two triangles are similar when they have the same shape: congruent angles and corresponding sides in proportion. A single criterion — two congruent angles — is enough to guarantee similarity. From this follow the scaling laws that govern how segments, areas and volumes change as the similarity ratio $k$ varies.

• Similar triangles
• First similarity criterion
• Scaling laws for similar figures

La similitudine è una generalizzazione della congruenza: due figure simili hanno la stessa forma ma non necessariamente le stesse dimensioni. Il caso fondamentale è quello dei triangoli.

Definizione — Triangoli simili

Due triangoli sono simili se hanno gli angoli rispettivamente congruenti e i lati corrispondenti in proporzione (rapporto di similitudine $k$).

Il numero $k$ è il rapporto di similitudine: indica quante volte ogni lato di un triangolo è più grande del lato corrispondente dell’altro. Se $k=1$ i due triangoli sono congruenti.

Esplora la definizione con la simulazione: trascina i vertici del triangolo verde e varia il fattore di scala $k$ — il triangolo rosso resta sempre simile e i suoi angoli non cambiano.

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Rapporto di similitudine · Similitudine · Triangoli simili
Competenze: Geometria sintetica

Similarity is a generalisation of congruence: two similar figures have the same shape but not necessarily the same size. The fundamental case is that of triangles.

Definition — Similar triangles

Two triangles are similar if they have respectively congruent angles and corresponding sides in proportion (ratio of similarity $k$).

The number $k$ is the ratio of similarity: it indicates how many times each side of one triangle is larger than the corresponding side of the other. If $k=1$ the two triangles are congruent.

Explore the definition with the simulation: drag the vertices of the green triangle and vary the scale factor $k$ — the red triangle always stays similar and its angles do not change.

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Topics: Similarity
Concepts: Ratio of similarity · Similarity · Similar triangles
Skills: Synthetic geometry

Per stabilire se due triangoli sono simili non serve verificare tutte le condizioni della definizione: è sufficiente confrontare gli angoli.

Teorema — I criterio di similitudine

Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili.

Il criterio funziona perché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180°$: se due angoli coincidono, coincide automaticamente anche il terzo, e quindi i due triangoli hanno la stessa forma.

Storia — Eratostene misura la Terra con un'ombra

Verso il 240 a.C. Eratostene di Cirene applicò proprio questo principio per misurare la circonferenza terrestre. A mezzogiorno del solstizio, a Siene il Sole era allo zenit, mentre ad Alessandria uno gnomone verticale proiettava un’ombra che sottendeva un angolo di circa $7,2°$: poiché i raggi del Sole sono paralleli, quello stesso angolo è l’angolo al centro della Terra tra le due città. Dalla proporzione $7,2°:360° = d:C$ ottenne una circonferenza di $250\,000$ stadi, a un soffio dal valore reale (Boyer; Katz).

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Criteri di similitudine · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Geometria sintetica
Persone: Eratostene

To establish whether two triangles are similar, there is no need to check all the conditions of the definition: it is enough to compare the angles.

Theorem — First similarity criterion

If two triangles have two angles respectively congruent, then they are similar.

The criterion works because the sum of the interior angles of a triangle is always $180°$: if two angles coincide, the third automatically coincides as well, and so the two triangles have the same shape.

History — Eratosthenes measures the Earth with a shadow

Around 240 BC Eratosthenes of Cyrene applied exactly this principle to measure the Earth’s circumference. At noon on the solstice the Sun was at the zenith over Syene, while in Alexandria a vertical gnomon cast a shadow subtending an angle of about $7.2°$: since the Sun’s rays are parallel, that same angle is the central angle of the Earth between the two cities. From the proportion $7.2°:360° = d:C$ he obtained a circumference of $250\,000$ stadia, a hair’s breadth from the true value (Boyer; Katz).

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Methods: Similarity criteria
Skills: Synthetic geometry

Il rapporto di similitudine non agisce allo stesso modo su lunghezze, aree e volumi: ogni grandezza scala con una potenza diversa di $k$.

Proprietà — Leggi di scala per figure simili

Se due figure sono simili con rapporto di similitudine $k$, allora:

• tutti i segmenti corrispondenti stanno in rapporto $k$;
• le aree stanno in rapporto $k^2$;
• i volumi (per solidi simili) stanno in rapporto $k^3$.

$\frac{\ell'}{\ell} = k, \qquad \frac{A'}{A} = k^2, \qquad \frac{V'}{V} = k^3.$

L’idea è che l’area dipende da due dimensioni e il volume da tre: raddoppiare le lunghezze ($k=2$) quadruplica le aree e moltiplica per otto i volumi.

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Leggi di scala · Rapporto di similitudine · Similitudine
Metodi: Similitudine criteri · Trasformazioni omotetie
Competenze: Usare formule

The ratio of similarity does not act in the same way on lengths, areas and volumes: each quantity scales with a different power of $k$.

Property — Scaling laws for similar figures

If two figures are similar with ratio of similarity $k$, then:

• all corresponding segments are in the ratio $k$;
• the areas are in the ratio $k^2$;
• the volumes (for similar solids) are in the ratio $k^3$.

$\frac{\ell'}{\ell} = k, \qquad \frac{A'}{A} = k^2, \qquad \frac{V'}{V} = k^3.$

The idea is that area depends on two dimensions and volume on three: doubling the lengths ($k=2$) quadruples the areas and multiplies the volumes by eight.

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Methods: Similarity criteria · Transformations and homotheties
Skills: Using formulae

Verso il 240 a.C. Eratostene di Cirene, direttore della Biblioteca di Alessandria, riuscì a misurare la circonferenza della Terra con un esperimento di sorprendente semplicità, fondato interamente sulla geometria dei triangoli simili e delle ombre.

Eratostene sapeva che a Siene (l’odierna Assuan), a mezzogiorno del solstizio d’estate, il Sole illuminava il fondo di un pozzo: i suoi raggi cadevano dunque perfettamente verticali. Nello stesso istante, ad Alessandria — situata quasi sullo stesso meridiano, più a nord — un’asta verticale (uno gnomone) proiettava un’ombra. Misurando il rapporto tra la lunghezza dell’ombra e l’altezza dell’asta, Eratostene trovò che i raggi solari formavano con la verticale un angolo di circa $7,2°$, cioè un cinquantesimo dell’angolo giro ($360° / 7,2° = 50$).

Poiché il Sole è lontanissimo, i suoi raggi arrivano paralleli. L’angolo dell’ombra ad Alessandria è quindi uguale — per il criterio degli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale — all’angolo al centro della Terra sotteso dall’arco tra le due città. Vale allora la proporzione tra angoli e archi corrispondenti:

$\frac{7,2°}{360°} = \frac{d}{C},$

dove $d$ è la distanza Siene–Alessandria e $C$ la circonferenza terrestre. Le carovane stimavano quella distanza in circa $5000$ stadi, e dunque

$C = 50 \cdot 5000 = 250\,000 \text{ stadi}.$

A seconda del valore attribuito allo stadio, il risultato corrisponde a circa $39\,000$–$46\,000$ km, straordinariamente vicino al valore reale di circa $40\,000$ km. L’intuizione decisiva è la stessa che governa i triangoli simili: quando due configurazioni condividono gli stessi angoli, le grandezze corrispondenti — qui archi e angoli al centro — restano in proporzione, e da una misura locale (un’ombra) si risale a una misura globale (l’intero pianeta) (Boyer; Katz).

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Rapporto di similitudine · Similitudine
Persone: Eratostene

Around 240 BC Eratosthenes of Cyrene, director of the Library of Alexandria, managed to measure the circumference of the Earth with an experiment of astonishing simplicity, resting entirely on the geometry of similar triangles and shadows.

Eratosthenes knew that at Syene (modern Aswan), at noon on the summer solstice, the Sun lit the bottom of a well: its rays therefore fell perfectly vertical. At that same instant, in Alexandria — lying almost on the same meridian, further north — a vertical rod (a gnomon) cast a shadow. By measuring the ratio between the length of the shadow and the height of the rod, Eratosthenes found that the Sun’s rays made an angle of about $7.2°$ with the vertical, that is, one fiftieth of a full turn ($360° / 7.2° = 50$).

Since the Sun is extremely far away, its rays arrive parallel. The shadow angle at Alexandria is therefore equal — by the criterion of angles formed by parallel lines cut by a transversal — to the central angle of the Earth subtended by the arc between the two cities. Hence the proportion between angles and corresponding arcs holds:

$\frac{7.2°}{360°} = \frac{d}{C},$

where $d$ is the Syene–Alexandria distance and $C$ the Earth’s circumference. The caravans estimated that distance at about $5000$ stadia, so

$C = 50 \cdot 5000 = 250\,000 \text{ stadia}.$

Depending on the value assigned to the stadion, the result corresponds to roughly $39\,000$–$46\,000$ km, remarkably close to the true value of about $40\,000$ km. The decisive insight is the very one that governs similar triangles: when two configurations share the same angles, the corresponding quantities — here arcs and central angles — remain proportional, and from a local measurement (a shadow) one recovers a global one (the whole planet) (Boyer; Katz).

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