Limiti di funzioni

L’analisi matematica nasce da una domanda apparentemente semplice: a cosa “tende” una funzione quando la sua variabile si avvicina a un certo valore? Il concetto di limite è la risposta rigorosa a questa domanda e costituisce il fondamento su cui si costruiscono derivate, integrali e tutti gli strumenti dell’analisi. Il capitolo parte dai paradossi di Zenone (dove infiniti termini sommano un valore finito), introduce gli strumenti preliminari — intorno e punto di accumulazione — che dicono quando ha senso fare un limite, poi il concetto intuitivo di limite e i suoi quattro casi fondamentali. Segue la classificazione in forme determinate e indeterminate e le quattro strategie per sciogliere queste ultime: funzioni equivalenti, gerarchia degli infiniti, scomposizione in fattori e razionalizzazione. Chiudono il capitolo il trucco $A^B\to e^{B\ln A}$ per le forme esponenziali e lo studio degli asintoti.

Sezioni

• Apertura storica: i paradossi di Zenone
• Dominio e punti di accumulazione
• Il concetto intuitivo di limite
• Forme determinate e indeterminate
• Gerarchia degli infiniti
• Limiti notevoli e funzioni equivalenti
• Scomposizione e razionalizzazione
• Sostituzione di variabile
• Il trucco delle potenze $A^B\to e^{B\ln A}$
• Asintoti

Approfondimenti

• Dai paradossi al limite rigoroso

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Mathematical analysis is born from an apparently simple question: what does a function “tend” to when its variable approaches a certain value? The concept of the limit is the rigorous answer to this question and constitutes the foundation on which derivatives, integrals and all the tools of analysis are built. The chapter starts from Zeno’s paradoxes (where infinitely many terms sum to a finite value), introduces the preliminary tools — neighbourhood and accumulation point — which tell us when it makes sense to take a limit, then the intuitive concept of a limit and its four fundamental cases. There follows the classification into determinate and indeterminate forms and the four strategies for resolving the latter: equivalent functions, hierarchy of infinities, factorisation and rationalisation. The chapter closes with the trick $A^B\to e^{B\ln A}$ for exponential forms and the study of asymptotes.

Sections

• Historical opening: Zeno’s paradoxes
• Domain and accumulation points
• The intuitive concept of a limit
• Determinate and indeterminate forms
• Hierarchy of infinities
• Standard limits and equivalent functions
• Factorisation and rationalisation
• Change of variable
• The trick of powers $A^B\to e^{B\ln A}$
• Asymptotes

Further Study

• From the paradoxes to the rigorous limit

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Osservazione — Il cambio di variabile

In molti limiti il trucco decisivo è un cambio di variabile: se $x\to x_0$ e l’espressione coinvolge una quantità $g(x)\to 0$, si pone $t = g(x)$ e si riscrive tutto in funzione di $t\to 0$, riconducendosi a un limite notevole.

Esempio

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}.$ Poniamo $t = x^2$, con $t\to 0$: l’espressione diventa $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$.

La sostituzione trasforma un limite dall’aspetto insolito in un limite notevole già noto: è spesso il primo tentativo da fare quando si riconosce, “annidata” nell’espressione, una quantità infinitesima.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Cambio di variabile · Limiti notevoli
Competenze: Calcolare limiti

Observation — The change of variable

In many limits the decisive trick is a change of variable: if $x\to x_0$ and the expression involves a quantity $g(x)\to 0$, one sets $t = g(x)$ and rewrites everything as a function of $t\to 0$, reducing to a standard limit.

Example

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}.$ We set $t = x^2$, with $t\to 0$: the expression becomes $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$.

The substitution turns an unusual-looking limit into a standard limit already known: it is often the first thing to try when one recognises, “nested” in the expression, an infinitesimal quantity.

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Topics: Limits
Concepts: Change of variable · Standard limits
Skills: Calculating limits

Quando un limite ha la forma $\bigl[A(x)\bigr]^{B(x)}$ con una forma indeterminata come $1^\infty$, $\infty^0$ o $0^0$, il trucco è riscrivere la potenza come esponenziale:

$A(x)^{B(x)} = e^{\,B(x)\cdot\ln A(x)}.$

Il limite dell’esponente $B(x)\cdot\ln A(x)$ è di solito una forma indeterminata “ordinaria” ($0\cdot\infty$ o simili) che si risolve con i metodi visti. Poi si applica la continuità dell’esponenziale.

Esempio — Il limite che dà $e$

$\lim_{x\to 0^+}(1+x)^{1/x} = \lim e^{\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x)}.$ Usiamo $\ln(1+\square)\sim\square$ con $\square = x\to 0$: $\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x) \sim \frac{1}{x}\cdot x = 1.$ Quindi il limite è $e^1 = \boxed{e}$.

Esempio — Base che tende a 1, esponente all'infinito

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x = e^{\,x\cdot\ln\frac{x+1}{x-1}} = e^{\,x\cdot\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}.$ Con $\square = \dfrac{2}{x-1}\to 0$ si ha $\ln(1+\square)\sim\square$, quindi $x\cdot\frac{2}{x-1}\to 2.$ Il limite è $\boxed{e^2}$.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Funzioni equivalenti
Competenze: Calcolare limiti · Usare formule

When a limit has the form $\bigl[A(x)\bigr]^{B(x)}$ with an indeterminate form such as $1^\infty$, $\infty^0$ or $0^0$, the trick is to rewrite the power as an exponential:

$A(x)^{B(x)} = e^{\,B(x)\cdot\ln A(x)}.$

The limit of the exponent $B(x)\cdot\ln A(x)$ is usually an “ordinary” indeterminate form ($0\cdot\infty$ or similar) that is solved with the methods seen. Then one applies the continuity of the exponential.

Example — The limit that gives $e$

$\lim_{x\to 0^+}(1+x)^{1/x} = \lim e^{\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x)}.$ We use $\ln(1+\square)\sim\square$ with $\square = x\to 0$: $\frac{1}{x}\cdot\ln(1+x) \sim \frac{1}{x}\cdot x = 1.$ Hence the limit is $e^1 = \boxed{e}$.

Example — Base tending to 1, exponent to infinity

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x = e^{\,x\cdot\ln\frac{x+1}{x-1}} = e^{\,x\cdot\ln\left(1+\frac{2}{x-1}\right)}.$ With $\square = \dfrac{2}{x-1}\to 0$ we have $\ln(1+\square)\sim\square$, hence $x\cdot\frac{2}{x-1}\to 2.$ The limit is $\boxed{e^2}$.

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Topics: Limits
Concepts: Indeterminate forms · Equivalent functions
Skills: Calculating limits · Using formulae

Gli asintoti sono rette a cui il grafico di una funzione si avvicina indefinitamente: si individuano tutti tramite limiti.

In sintesi — I tre tipi di asintoto

• Asintoto orizzontale: $y=L$ se $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$.
• Asintoto verticale: $x=x_0$ se $\displaystyle\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty$.
• Asintoto obliquo: $y=mx+q$ con $\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ e $\displaystyle q=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)$.

La funzione $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ illustra due asintoti insieme: un asintoto verticale in $x=0$ e un asintoto obliquo $y=x$ per $x\to\pm\infty$.

La funzione $f(x) = x + 1/x$ ha asintoto obliquo $y=x$ (per $x\to\pm\infty$) e asintoto verticale $x=0$.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Asintoto obliquo · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Limite
Competenze: Interpretare grafico · Studiare funzione

Asymptotes are straight lines that the graph of a function approaches indefinitely: they are all identified through limits.

In brief — The three types of asymptote

• Horizontal asymptote: $y=L$ if $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$.
• Vertical asymptote: $x=x_0$ if $\displaystyle\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty$.
• Oblique asymptote: $y=mx+q$ with $\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ and $\displaystyle q=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)$.

The function $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ illustrates two asymptotes together: a vertical asymptote at $x=0$ and an oblique asymptote $y=x$ as $x\to\pm\infty$.

The function $f(x) = x + 1/x$ has oblique asymptote $y=x$ (as $x\to\pm\infty$) and vertical asymptote $x=0$.

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Topics: Limits
Concepts: Asymptote · Oblique asymptote · Horizontal asymptote · Vertical asymptote · Limit
Skills: Interpreting graphs · Studying functions