Frazioni continue

Le frazioni continue sono un modo alternativo e affascinante di rappresentare i numeri. Un numero razionale dà una frazione continua finita; un irrazionale ne dà una infinita. Quando la frazione continua è periodica, il suo valore si trova risolvendo un’equazione di secondo grado: è qui che il tema si aggancia al resto del capitolo.

• Che cos’è una frazione continua
• La frazione continua di radice di 2
• La frazione continua di pi greco
• Come si calcola una frazione continua

Continued fractions are an alternative and fascinating way of representing numbers. A rational number gives a finite continued fraction; an irrational one gives an infinite one. When the continued fraction is periodic, its value is found by solving a second-degree equation: this is where the topic connects to the rest of the chapter.

• What a continued fraction is
• The continued fraction of the square root of 2
• The continued fraction of pi
• How a continued fraction is computed

Le frazioni continue sono un modo alternativo di rappresentare i numeri: un numero razionale dà una frazione continua finita, un irrazionale ne dà una infinita. Quando una frazione continua infinita è periodica, il trucco per calcolarne il valore è sfruttare la sua struttura autoripetente e ricondursi a un’equazione di secondo grado.

Esempio — Calcolo di una frazione continua infinita

Sia $f = 1 + \cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cdots}}}$ Osserviamo che $\dfrac{5}{3} < f < 3$.

Trucco: la parte che si ripete è uguale all’intera espressione, quindi: $f = 1 + \frac{2}{f} \implies f^2 = f + 2 \implies f^2-f-2=0 \implies \boxed{f = 2}$ (scartando $f=-1$ perché $f>0$).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Equazione secondo grado · Frazione continua
Competenze: Risolvere equazioni

Continued fractions are an alternative way of representing numbers: a rational number gives a finite continued fraction, an irrational one gives an infinite one. When an infinite continued fraction is periodic, the trick for computing its value is to exploit its self-repeating structure and reduce to a second-degree equation.

Example — Computing an infinite continued fraction

Let $f = 1 + \cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cdots}}}$ Notice that $\dfrac{5}{3} < f < 3$.

Trick: the repeating part equals the whole expression, hence: $f = 1 + \frac{2}{f} \implies f^2 = f + 2 \implies f^2-f-2=0 \implies \boxed{f = 2}$ (discarding $f=-1$ because $f>0$).

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Second-degree equation · Continued fraction
Skills: Solving equations

Anche $\sqrt 2$ si può scrivere come frazione continua periodica, e le sue troncate danno le migliori approssimazioni razionali del numero.

Esempio — Frazione continua di $\sqrt 2$

Cerchiamo $x>0$ con $x^2=2$, cioè $x = 1 + \dfrac{x^2-1}{x+1} = 1 + (x-1)$. Riscriviamo $x-1 = \dfrac{1}{x+1}$ ottenendo $x = 1 + \frac{1}{1+x}.$ Sostituendo $x$ a destra a ogni passo: $\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}.$ Tutti $2$ dopo la prima cifra: $1,2,2,2,\ldots$. Le convergenti successive sono $1,\ 3/2,\ 7/5,\ 17/12,\ 41/29,\ 99/70,\ldots$ (rapporti dei numeri di Pell); ognuna è la migliore approssimazione razionale di $\sqrt 2$ con denominatore minore o uguale a quello dato. Verifica: $99/70 = 1{,}41428\ldots$ contro $\sqrt 2 = 1{,}41421\ldots$ (errore $<10^{-4}$).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Convergenti · Frazione continua · Numeri di pell
Competenze: Risolvere equazioni · Stimare

$\sqrt 2$ too can be written as a periodic continued fraction, and its truncations give the best rational approximations of the number.

Example — Continued fraction of $\sqrt 2$

We look for $x>0$ with $x^2=2$, that is $x = 1 + \dfrac{x^2-1}{x+1} = 1 + (x-1)$. We rewrite $x-1 = \dfrac{1}{x+1}$ obtaining $x = 1 + \frac{1}{1+x}.$ Substituting $x$ on the right at each step: $\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}.$ All $2$s after the first digit: $1,2,2,2,\ldots$. The successive convergents are $1,\ 3/2,\ 7/5,\ 17/12,\ 41/29,\ 99/70,\ldots$ (ratios of the Pell numbers); each is the best rational approximation of $\sqrt 2$ with denominator less than or equal to the given one. Check: $99/70 = 1{,}41428\ldots$ against $\sqrt 2 = 1{,}41421\ldots$ (error $<10^{-4}$).

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Convergents · Continued fraction · Pell numbers
Skills: Solving equations · Estimating

A differenza di $\sqrt 2$, la frazione continua di $\pi$ non è periodica (perché $\pi$ è trascendente), ma è molto compatta e produce approssimazioni razionali sorprendentemente buone.

Esempio — Frazione continua di $\pi$ e migliori approssimazioni

$\pi$ ha sviluppo non periodico (è trascendente) ma molto compatto: $\pi = 3 + \cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cdots}}}} = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots].$ Tronchiamo a $[3]=3$, $[3;7]=22/7$ (Archimede, nella Misura del cerchio, cfr. Boyer, cap. 5), $[3;7,15]=333/106$, $[3;7,15,1]=355/113$. L’ultima è clamorosa: $355/113 = 3{,}1415929\ldots$ contro $\pi = 3{,}14159265\ldots$ (errore $<3\cdot 10^{-7}$, sette cifre corrette con un denominatore di sole tre cifre). Il salto di precisione è dovuto al "$292$" (un coefficiente molto grande) nella frazione continua: ogni coefficiente grande significa che la convergente precedente è già ottima.

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Approssimazione razionale · Convergenti · Frazione continua
Competenze: Stimare
Persone: Archimede

Unlike $\sqrt 2$, the continued fraction of $\pi$ is not periodic (because $\pi$ is transcendental), but it is very compact and produces surprisingly good rational approximations.

Example — Continued fraction of $\pi$ and best approximations

$\pi$ has a non-periodic expansion (it is transcendental) but a very compact one: $\pi = 3 + \cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cdots}}}} = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots].$ We truncate at $[3]=3$, $[3;7]=22/7$ (Archimedes, in the Measurement of a Circle, cf. Boyer, ch. 5), $[3;7,15]=333/106$, $[3;7,15,1]=355/113$. The last is astonishing: $355/113 = 3{,}1415929\ldots$ against $\pi = 3{,}14159265\ldots$ (error $<3\cdot 10^{-7}$, seven correct digits with a denominator of only three digits). The jump in precision is due to the "$292$" (a very large coefficient) in the continued fraction: every large coefficient means that the previous convergent is already excellent.

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Rational approximation · Convergents · Continued fraction
Skills: Estimating
People: Archimedes

Esiste un algoritmo semplice per ricavare la frazione continua di un qualunque numero positivo, basato sull’estrazione ripetuta della parte intera.

Osservazione — Algoritmo per calcolare la frazione continua di un numero

Dato $\alpha>0$, scrivi $\alpha = a_0 + \beta_0$ con $a_0=\lfloor\alpha\rfloor$ parte intera e $\beta_0\in[0,1)$. Se $\beta_0\ne 0$, considera $1/\beta_0$ e ripeti: $1/\beta_0 = a_1 + \beta_1$, e così via. Per $\alpha\in\mathbb{Q}$ il processo termina; per $\alpha\notin\mathbb{Q}$ va avanti all’infinito. Lo sviluppo è periodico se e solo se $\alpha$ è un irrazionale quadratico (radice di un’equazione di secondo grado a coefficienti razionali), risultato dimostrato da Lagrange (cfr. Stillwell, cap. 5).

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Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Algoritmo · Frazione continua · Irrazionale quadratico
Competenze: Usare formule
Persone: Joseph-Louis Lagrange

There is a simple algorithm for obtaining the continued fraction of any positive number, based on the repeated extraction of the integer part.

Observation — Algorithm for computing the continued fraction of a number

Given $\alpha>0$, write $\alpha = a_0 + \beta_0$ with $a_0=\lfloor\alpha\rfloor$ the integer part and $\beta_0\in[0,1)$. If $\beta_0\ne 0$, consider $1/\beta_0$ and repeat: $1/\beta_0 = a_1 + \beta_1$, and so on. For $\alpha\in\mathbb{Q}$ the process terminates; for $\alpha\notin\mathbb{Q}$ it goes on forever. The expansion is periodic if and only if $\alpha$ is a quadratic irrational (a root of a second-degree equation with rational coefficients), a result proved by Lagrange (cf. Stillwell, ch. 5).

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Topics: Second-degree equations
Concepts: Algorithm · Continued fraction · Quadratic irrational
Skills: Using formulas
People: Joseph-Louis Lagrange