Cambio di base

La formula del cambio di base permette di esprimere un logaritmo in qualunque base a partire da un’altra base a scelta. È indispensabile per usare la calcolatrice (che ha solo $\log_{10}$ e $\ln$) e per confrontare logaritmi di basi diverse. La sezione enuncia la formula, la dimostra e mostra un esempio di calcolo.

• La formula del cambio di base
• Dimostrazione del cambio di base

The change-of-base formula lets one express a logarithm in any base starting from another base of one’s choice. It is indispensable for using the calculator (which has only $\log_{10}$ and $\ln$) and for comparing logarithms of different bases. The section states the formula, proves it and shows an example of computation.

• The change-of-base formula
• Proof of the change of base

Spesso serve passare da una base all’altra, per esempio per calcolare con la calcolatrice un logaritmo in base diversa da $10$ o da $e$.

Proprietà — Formula del cambio di base

Per ogni $a, b, x$ ammissibili: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$ Da cui in particolare si ricava $\log_a x = \dfrac{1}{\log_x a}$ (caso $b = x$): inversione della base.

Esempio — Calcolo di $\log_8 16$

Con cambio di base $b=2$: $\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{4}{3}.$

Osservazione — Versione "moltiplicata"

La stessa formula si può riscrivere come $\log_a x \cdot \log_b a = \log_b x$, cioè come un “prodotto che trasporta” il logaritmo da una base all’altra. Conviene saperla leggere in entrambe le direzioni.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Cambio di base · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Calcolare · Usare formule

It is often necessary to pass from one base to another, for example to compute with a calculator a logarithm in a base other than $10$ or $e$.

Property — Change-of-base formula

For every admissible $a, b, x$: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$ From which, in particular, one obtains $\log_a x = \dfrac{1}{\log_x a}$ (case $b = x$): inversion of the base.

Example — Computing $\log_8 16$

With change of base $b=2$: $\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{4}{3}.$

Remark — The "multiplied" version

The same formula can be rewritten as $\log_a x \cdot \log_b a = \log_b x$, that is, as a “product that carries” the logarithm from one base to another. It is worth being able to read it in both directions.

Links

Topics: Logarithmic function
Concepts: Change of base · Logarithm
Functions: Logarithmic function
Skills: Calculate · Use formulae

La formula si ottiene applicando un logaritmo ausiliario a entrambi i membri della definizione.

Dimostrazione — Formula del cambio di base

Posto $u = \log_a x$, allora $a^u = x$. Applichiamo a entrambi i membri il logaritmo in base $b$: $\log_b(a^u) = \log_b x \implies u \log_b a = \log_b x \implies u = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$ $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Cambio di base · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Dimostrare

The formula is obtained by applying an auxiliary logarithm to both sides of the definition.

Proof — Change-of-base formula

Setting $u = \log_a x$, then $a^u = x$. We apply to both sides the logarithm in base $b$: $\log_b(a^u) = \log_b x \implies u \log_b a = \log_b x \implies u = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$ $\blacksquare$

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Change of base · Logarithm
Functions: Logarithmic function
Skills: Prove