Grafico della parabola

La parabola è definita come luogo geometrico dei punti equidistanti da un fuoco e da una direttrice, ma per lavorarci in pratica basta la sua equazione $y=ax^2+bx+c$. Da essa si ricavano subito il vertice, l’asse di simmetria e il verso della concavità, e queste poche informazioni bastano per tracciarne il grafico. Vediamo anche come scegliere la forma dell’equazione più comoda in base ai dati noti.

• Definizione di parabola
• Vertice, asse e concavità
• Due forme per trovare l’equazione
• Le Coniche di Apollonio

The parabola is defined as the geometric locus of points equidistant from a focus and a directrix, but to work with it in practice its equation $y=ax^2+bx+c$ is enough. From it one immediately obtains the vertex, the axis of symmetry and the direction of the concavity, and these few pieces of information are enough to draw its graph. We also see how to choose the most convenient form of the equation according to the known data.

• Definition of a parabola
• Vertex, axis and concavity
• Two forms for finding the equation
• Apollonius’ Conics

La parabola è la prima curva che studiamo in modo sistematico. Nasce da una condizione geometrica molto semplice, che coinvolge un punto e una retta.

Definizione — La parabola

La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (il fuoco) e da una retta (la direttrice). La sua equazione nella forma canonica è $y=ax^2+bx+c.$

Il coefficiente $a$ non può essere nullo: se $a=0$ l’equazione diventa quella di una retta. Sarà proprio il segno e il valore di $a$ a governare l’apertura e il verso della curva.

Storia — La parabola nasce dal cono

Molto prima che esistessero le coordinate cartesiane, la parabola era una curva puramente geometrica. La scoprì nel IV secolo a.C. il greco Menecmo, allievo di Eudosso, mentre affrontava il celebre problema della duplicazione del cubo: tagliando un cono con un piano si ottengono tre curve — ellisse, parabola e iperbole — e Menecmo capì che l’intersezione di due di esse risolve il problema (Boyer). La definizione moderna come luogo dei punti equidistanti da fuoco e direttrice arrivò solo secoli dopo (Katz).

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Argomenti: Parabola
Concetti: Direttrice · Fuoco · Parabola
Funzioni: Parabola
Persone: Menecmo

The parabola is the first curve we study systematically. It arises from a very simple geometric condition, involving a point and a straight line.

Definition — The parabola

The parabola is the locus of points equidistant from a fixed point (the focus) and a straight line (the directrix). Its equation in canonical form is $y=ax^2+bx+c.$

The coefficient $a$ cannot be zero: if $a=0$ the equation becomes that of a straight line. It is precisely the sign and value of $a$ that govern the opening and the direction of the curve.

History — The parabola is born from the cone

Long before Cartesian coordinates existed, the parabola was a purely geometric curve. It was discovered in the 4th century BC by the Greek Menaechmus, a pupil of Eudoxus, while he was tackling the famous problem of doubling the cube: cutting a cone with a plane yields three curves — ellipse, parabola and hyperbola — and Menaechmus realized that the intersection of two of them solves the problem (Boyer). The modern definition as the locus of points equidistant from a focus and a directrix came only centuries later (Katz).

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Topics: Parabola
Concepts: Directrix · Focus · Parabola
Functions: Parabola
People: Menaechmus

Dall’equazione $y=ax^2+bx+c$ si ricavano subito gli elementi che servono per disegnare la curva: il vertice, l’asse di simmetria e il verso della concavità.

Proprietà — Vertice, asse e concavità

• Vertice: $V=\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
• Asse di simmetria: $x=-\dfrac{b}{2a}$
• $a>0$: concavità verso l’alto; $a<0$: concavità verso il basso.

Per esempio la parabola $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$ ha $a=1>0$ (concavità verso l’alto), vertice $V(1,-4)$ e asse di simmetria $x=1$. Il grafico è simmetrico rispetto a questo asse.

Grafico della parabola $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$, con vertice $V(1,-4)$ e asse di simmetria $x=1$.

Prova tu stesso: trascina i cursori $a$, $b$, $c$ e osserva come si spostano il vertice $V$ (in rosso) e l’asse di simmetria (tratteggiato), e come il segno di $a$ ribalta la concavità.

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Argomenti: Parabola
Concetti: Asse di simmetria · Concavita · Discriminante · Vertice
Funzioni: Parabola
Metodi: Parabola vertice
Competenze: Tracciare grafico · Usare formule

From the equation $y=ax^2+bx+c$ one immediately obtains the elements needed to draw the curve: the vertex, the axis of symmetry and the direction of the concavity.

Property — Vertex, axis and concavity

• Vertex: $V=\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
• Axis of symmetry: $x=-\dfrac{b}{2a}$
• $a>0$: concavity upwards; $a<0$: concavity downwards.

For example the parabola $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$ has $a=1>0$ (concavity upwards), vertex $V(1,-4)$ and axis of symmetry $x=1$. The graph is symmetric with respect to this axis.

Graph of the parabola $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$, with vertex $V(1,-4)$ and axis of symmetry $x=1$.

Try it yourself: drag the sliders $a$, $b$, $c$ and watch how the vertex $V$ (red) and the axis of symmetry (dashed) move, and how the sign of $a$ flips the concavity.

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Concepts: Axis of symmetry · Concavity · Discriminant · Vertex
Functions: Parabola
Methods: Parabola vertex
Skills: Drawing a graph · Using formulae

Quando dobbiamo ricostruire l’equazione di una parabola a partire da alcuni dati, conviene scegliere la forma più adatta alle informazioni che abbiamo.

Osservazione — Due modi per trovare l'equazione di una parabola

A seconda dei dati noti si parte da forme diverse dell’equazione:

• se conosci le intersezioni con l’asse $x$, cioè $x_A$ e $x_B$: $y=a(x-x_A)(x-x_B)$;
• se conosci il vertice $V(x_V,y_V)$: $y-y_V=a(x-x_V)^2$.

In entrambi i casi serve un ulteriore punto per determinare il coefficiente $a$.

Due strategie equivalenti per scrivere l’equazione di una parabola, a seconda dei dati disponibili.

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Concetti: Parabola · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

When we have to reconstruct the equation of a parabola from some data, it is convenient to choose the form best suited to the information we have.

Observation — Two ways to find the equation of a parabola

Depending on the known data one starts from different forms of the equation:

• if you know the intersections with the $x$-axis, that is $x_A$ and $x_B$: $y=a(x-x_A)(x-x_B)$;
• if you know the vertex $V(x_V,y_V)$: $y-y_V=a(x-x_V)^2$.

In both cases a further point is needed to determine the coefficient $a$.

Two equivalent strategies for writing the equation of a parabola, depending on the available data.

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Concepts: Parabola · Vertex
Functions: Parabola
Skills: Analytic geometry · Using formulae

I nomi che usiamo ancora oggi — parabola, ellisse, iperbole — non sono nostri: li dobbiamo ad Apollonio di Perga (circa 262–190 a.C.), il matematico greco soprannominato dagli antichi “il Grande Geometra”.

Un’unica famiglia di curve

Prima di Apollonio si pensava che ellisse, parabola e iperbole nascessero da tre tipi diversi di cono, tagliati sempre perpendicolarmente a una generatrice. Apollonio ebbe l’intuizione decisiva: basta un solo cono, e sono i diversi angoli del piano di taglio a produrre le tre curve. Se il piano è parallelo a una generatrice del cono si ottiene proprio la parabola.

Perché “parabola”

I nomi scelti da Apollonio descrivono una proprietà delle aree costruite sulle corde della curva, ed erano già in uso nel linguaggio geometrico greco:

• ellisse (da élleipsis, “mancanza”) — l’area costruita risulta inferiore a un rettangolo di riferimento;
• iperbole (da hyperbolé, “eccesso”) — l’area supera quel rettangolo;
• parabola (da parabolé, “accostamento”, “confronto esatto”) — l’area coincide esattamente con esso.

Con il linguaggio moderno, per una parabola in forma $y=ax^2$ il quadrato della corda verticale è direttamente proporzionale alla distanza dal vertice, senza né difetto né eccesso: è questo “confronto esatto” a dare il nome alla curva.

Un’eredità lunghissima

Le Coniche di Apollonio erano un trattato monumentale in otto libri e rimasero il riferimento sulle sezioni coniche per quasi due millenni. Furono lo strumento con cui, nel Seicento, Keplero descrisse le orbite ellittiche dei pianeti e Galileo riconobbe che un proiettile segue una traiettoria parabolica: la stessa curva che qui studiamo con l’equazione $y=ax^2+bx+c$ (Boyer, Katz).

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Persone: Apollonio di Perga · Menecmo

The names we still use today — parabola, ellipse, hyperbola — are not ours: we owe them to Apollonius of Perga (c. 262–190 BC), the Greek mathematician the ancients nicknamed “the Great Geometer”.

A single family of curves

Before Apollonius people believed that the ellipse, parabola and hyperbola arose from three different kinds of cone, each cut perpendicular to a generating line. Apollonius had the decisive insight: a single cone is enough, and it is the different angles of the cutting plane that produce the three curves. When the plane is parallel to a generating line of the cone, one obtains precisely the parabola.

Why “parabola”

The names chosen by Apollonius describe a property of the areas built on the chords of the curve, and were already in use in Greek geometric language:

• ellipse (from élleipsis, “falling short”) — the constructed area falls short of a reference rectangle;
• hyperbola (from hyperbolé, “excess”) — the area exceeds that rectangle;
• parabola (from parabolé, “application”, “exact comparison”) — the area matches it exactly.

In modern language, for a parabola in the form $y=ax^2$ the square of the vertical chord is directly proportional to the distance from the vertex, with neither deficit nor excess: it is this “exact comparison” that gives the curve its name.

A very long legacy

Apollonius’ Conics was a monumental treatise in eight books and remained the standard reference on conic sections for almost two thousand years. It was the tool with which, in the 17th century, Kepler described the elliptical orbits of the planets and Galileo recognized that a projectile follows a parabolic trajectory: the very curve we study here through the equation $y=ax^2+bx+c$ (Boyer, Katz).

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