Regressione lineare

Spesso si raccolgono dati sperimentali e si vuole trovare la retta che li “approssima meglio”. Il metodo dei minimi quadrati dà la risposta ottimale: la retta che minimizza la somma dei quadrati degli errori. Questa sezione ne presenta la definizione, le formule e un esempio numerico completo.

• La retta di regressione
• Le formule dei minimi quadrati
• Esempio — calcolo di una retta di regressione

Often experimental data are collected and one wishes to find the line that “best approximates” them. The method of least squares gives the optimal answer: the line that minimises the sum of the squares of the errors. This section presents its definition, the formulae and a complete numerical example.

• The regression line
• The least-squares formulae
• Example — computing a regression line

Spesso si raccolgono dati sperimentali e si vuole trovare la retta che li “approssima meglio”. Il metodo dei minimi quadrati dà la risposta ottimale.

Definizione — Retta di regressione

Data una serie di punti $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$, la retta di regressione (o retta dei minimi quadrati) è la retta $y = mx+q$ che minimizza la somma dei quadrati degli scarti verticali.

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Argomenti: Radicali
Concetti: Minimi quadrati · Regressione lineare
Competenze: Modellizzare

Often experimental data are collected and one wishes to find the line that “best approximates” them. The method of least squares gives the optimal answer.

Definition — Regression line

Given a set of points $(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)$, the regression line (or least-squares line) is the line $y = mx+q$ that minimises the sum of the squares of the vertical deviations.

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Topics: Radicals
Concepts: Least squares · Linear regression
Skills: Modelling

Il coefficiente angolare $m$ e l’intercetta $q$ della retta di regressione si calcolano direttamente dai dati con le formule seguenti.

Proprietà — Formule dei minimi quadrati

$m = \frac{n\,\displaystyle\sum x_i y_i - \biggl(\sum x_i\biggr)\!\biggl(\sum y_i\biggr)}{n\,\displaystyle\sum x_i^2 - \biggl(\sum x_i\biggr)^{\!2}}, \qquad q = \bar{y} - m\,\bar{x}$ dove $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$ e $\bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i$ sono le medie.

La retta passa sempre per il punto $(\bar{x},\,\bar{y})$ (baricentro dei dati).

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Argomenti: Radicali
Concetti: Minimi quadrati · Regressione lineare
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

The slope $m$ and the intercept $q$ of the regression line are computed directly from the data with the following formulae.

Property — Least-squares formulae

$m = \frac{n\,\displaystyle\sum x_i y_i - \biggl(\sum x_i\biggr)\!\biggl(\sum y_i\biggr)}{n\,\displaystyle\sum x_i^2 - \biggl(\sum x_i\biggr)^{\!2}}, \qquad q = \bar{y} - m\,\bar{x}$ where $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$ and $\bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i$ are the means.

The line always passes through the point $(\bar{x},\,\bar{y})$ (centroid of the data).

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Skills: Analytic geometry · Using formulae

Applichiamo le formule dei minimi quadrati a un piccolo insieme di dati.

Esempio

Dati i punti $(1;\,2)$, $(2;\,3{,}5)$, $(3;\,4)$, $(4;\,5{,}5)$, $(5;\,6)$: $\bar{x}=3,\;\bar{y}=4{,}2,\; \sum x_iy_i = 66{,}5,\; \sum x_i^2 = 55.$ $m = \frac{5\cdot 66{,}5 - 15\cdot 21}{5\cdot 55 - 225} = \frac{332{,}5-315}{275-225} = \frac{17{,}5}{50} = \boxed{0{,}95},\qquad q = 4{,}2-0{,}95\cdot 3 = \boxed{1{,}35}.$ Retta: $y = 0{,}95\,x+1{,}35$.

Il grafico mostra i dati (in rosso), la retta di regressione (in blu) e il baricentro $(\bar{x},\bar{y})=(3;\,4{,}2)$ per cui la retta passa (in verde).

I cinque punti sperimentali, la retta dei minimi quadrati e il baricentro dei dati.

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Argomenti: Radicali
Concetti: Minimi quadrati · Regressione lineare
Competenze: Calcolare · Interpretare grafico · Tracciare grafico

Let us apply the least-squares formulae to a small set of data.

Example

Given the points $(1;\,2)$, $(2;\,3{,}5)$, $(3;\,4)$, $(4;\,5{,}5)$, $(5;\,6)$: $\bar{x}=3,\;\bar{y}=4{,}2,\; \sum x_iy_i = 66{,}5,\; \sum x_i^2 = 55.$ $m = \frac{5\cdot 66{,}5 - 15\cdot 21}{5\cdot 55 - 225} = \frac{332{,}5-315}{275-225} = \frac{17{,}5}{50} = \boxed{0{,}95},\qquad q = 4{,}2-0{,}95\cdot 3 = \boxed{1{,}35}.$ Line: $y = 0{,}95\,x+1{,}35$.

The graph shows the data (in red), the regression line (in blue) and the centroid $(\bar{x},\bar{y})=(3;\,4{,}2)$ through which the line passes (in green).

The five experimental points, the least-squares line and the centroid of the data.

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Skills: Calculating · Interpreting a graph · Plotting a graph