Angoli in radianti

Fino alla Seconda abbiamo misurato gli angoli in gradi sessagesimali: una scelta comoda per la vita quotidiana ma arbitraria dal punto di vista matematico. In Quarta passiamo a un’unità più naturale, il radiante, definito come rapporto tra la lunghezza di un arco e il raggio. Vediamo come si converte da gradi a radianti e perché questa unità rende più semplici tutte le formule dell’analisi.

• Il radiante
• Conversione tra gradi e radianti
• Perché i radianti sono naturali

Up to Year Two we measured angles in sexagesimal degrees: a convenient choice for everyday life but arbitrary from a mathematical point of view. In Year Four we move to a more natural unit, the radian, defined as the ratio between the length of an arc and the radius. We see how to convert from degrees to radians and why this unit makes all the formulae of analysis simpler.

• The radian
• Conversion between degrees and radians
• Why radians are natural

Fino alla Seconda abbiamo misurato gli angoli in gradi sessagesimali: un angolo giro ha $360°$, un angolo retto $90°$, e così via. È una scelta comoda per la vita quotidiana (il numero $360$ ha tanti divisori) ma del tutto arbitraria dal punto di vista matematico. In Quarta passiamo a un’unità di misura più “naturale”: il radiante.

Definizione — Il radiante

Data una circonferenza di raggio $R$ e un suo arco di lunghezza $\ell$, l’angolo al centro che sottende quell’arco, misurato in radianti, è $\alpha = \frac{\ell}{R}.$ Il radiante è quindi un rapporto di lunghezze: è adimensionale.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Angolo · Radiante

Up to Year Two we measured angles in sexagesimal degrees: a full angle has $360°$, a right angle $90°$, and so on. It is a convenient choice for everyday life (the number $360$ has many divisors) but entirely arbitrary from a mathematical point of view. In Year Four we move to a more “natural” unit of measure: the radian.

Definition — The radian

Given a circle of radius $R$ and one of its arcs of length $\ell$, the central angle that subtends that arc, measured in radians, is $\alpha = \frac{\ell}{R}.$ The radian is therefore a ratio of lengths: it is dimensionless.

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Topics: Trigonometry
Concepts: Angle · Radian

Poiché la lunghezza di una circonferenza è $2\pi R$, un angolo giro misura $2\pi$ radianti. Da qui si ricavano tutte le conversioni.

Proprietà — Conversione gradi ↔ radianti

Un angolo giro misura $2\pi$ radianti. Quindi: $180° = \pi \text{ rad},\qquad 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad},\qquad 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad},\qquad 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad},\qquad 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}.$ La formula generale è $\alpha_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180°}\cdot \alpha_{\text{gradi}},\qquad \alpha_{\text{gradi}} = \frac{180°}{\pi}\cdot \alpha_{\text{rad}}.$

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Angolo · Radiante
Competenze: Calcolare · Usare formule

Since the length of a circle is $2\pi R$, a full angle measures $2\pi$ radians. From this all the conversions follow.

Property — Degree ↔ radian conversion

A full angle measures $2\pi$ radians. Therefore: $180° = \pi \text{ rad},\qquad 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad},\qquad 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad},\qquad 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad},\qquad 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}.$ The general formula is $\alpha_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180°}\cdot \alpha_{\text{gradi}},\qquad \alpha_{\text{gradi}} = \frac{180°}{\pi}\cdot \alpha_{\text{rad}}.$

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Topics: Trigonometry
Concepts: Angle · Radian
Skills: Calculating · Using formulae

Osservazione — Perché i radianti sono "naturali"

Il radiante è l’unica unità di misura angolare per cui la lunghezza di un arco è uguale al prodotto dell’angolo per il raggio: $\ell = \alpha\cdot R$ (con $\alpha$ in radianti). Se usassimo i gradi, dovremmo scrivere $\ell = \frac{\pi}{180}\,\alpha_{\text{gradi}}\cdot R$, con un fattore di conversione sempre presente. Con i radianti il fattore scompare. Per la stessa ragione, tutte le formule dell’analisi (derivate di seno e coseno, serie di Taylor, integrali) assumono la loro forma più semplice quando gli angoli sono in radianti.

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Concetti: Radiante

Remark — Why radians are "natural"

The radian is the only unit of angular measure for which the length of an arc equals the product of the angle and the radius: $\ell = \alpha\cdot R$ (with $\alpha$ in radians). If we used degrees, we would have to write $\ell = \frac{\pi}{180}\,\alpha_{\text{gradi}}\cdot R$, with a conversion factor always present. With radians the factor disappears. For the same reason, all the formulae of analysis (derivatives of sine and cosine, Taylor series, integrals) take their simplest form when angles are in radians.

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Concepts: Radian