La retta nello spazio

Una retta nello spazio si descrive in due modi equivalenti: in forma parametrica, come punto più multiplo di un vettore direzione (“velocità”), oppure in forma cartesiana, come intersezione di due piani. Si passa dall’una all’altra risolvendo o eliminando il parametro.

• Forma parametrica della retta
• Forma cartesiana della retta
• Conversione parametrica-cartesiana

A line in space is described in two equivalent ways: in parametric form, as a point plus a multiple of a direction vector (“velocity”), or in Cartesian form, as the intersection of two planes. One passes from one to the other by solving or eliminating the parameter.

• Parametric form of the line
• Cartesian form of the line
• Parametric-Cartesian conversion

Proprietà — Forma parametrica

Una retta per il punto $\vec S_0$ con vettore direzione $\vec v$ si scrive $\vec S = \vec S_0 + \vec v\,t$, cioè $\begin{cases} x = x_0+v_x t \\ y = y_0+v_y t \\ z = z_0+v_z t \end{cases}, \qquad t\in\mathbb{R}.$ Il vettore $\vec v$ è la “velocità” della retta: al variare del parametro $t$ il punto $\vec S$ percorre la retta.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Retta · Retta nello spazio · Vettore
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Property — Parametric form

A line through the point $\vec S_0$ with direction vector $\vec v$ is written $\vec S = \vec S_0 + \vec v\,t$, that is $\begin{cases} x = x_0+v_x t \\ y = y_0+v_y t \\ z = z_0+v_z t \end{cases}, \qquad t\in\mathbb{R}.$ The vector $\vec v$ is the “velocity” of the line: as the parameter $t$ varies the point $\vec S$ traces out the line.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Line · Line in space · Vector
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Proprietà — Forma cartesiana

Una retta si può descrivere come intersezione di due piani: $\begin{cases}a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0\\a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\end{cases}.$ Il vettore direzione della retta è $\vec v = \vec n_1\times\vec n_2$, prodotto vettoriale dei due vettori normali.

Poiché la retta giace in entrambi i piani, la sua direzione è perpendicolare a entrambi i vettori normali: proprio quello che il prodotto vettoriale $\vec n_1\times\vec n_2$ fornisce.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Piano · Prodotto vettoriale · Retta · Retta nello spazio
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Property — Cartesian form

A line can be described as the intersection of two planes: $\begin{cases}a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0\\a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\end{cases}.$ The direction vector of the line is $\vec v = \vec n_1\times\vec n_2$, the cross product of the two normal vectors.

Since the line lies in both planes, its direction is perpendicular to both normal vectors: precisely what the cross product $\vec n_1\times\vec n_2$ provides.

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Topics: Analytic geometry in space
Concepts: Plane · Cross product · Line · Line in space
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Osservazione — Passare da una forma all'altra

• Da cartesiana a parametrica: si risolve il sistema dei due piani prendendo una variabile come parametro.
• Da parametrica a cartesiana: si elimina il parametro $t$ tra le tre equazioni.

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Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Retta · Retta nello spazio
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi

Remark — Switching from one form to the other

• From Cartesian to parametric: solve the system of the two planes taking one variable as a parameter.
• From parametric to Cartesian: eliminate the parameter $t$ among the three equations.

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Concepts: Line · Line in space
Skills: Analytic geometry · Solving systems