Forme determinate e indeterminate

Quando i limiti di due funzioni sono finiti, il limite della loro somma, prodotto o quoziente si ottiene semplicemente combinando i valori: sono le forme determinate. In certi casi, però, l’applicazione diretta delle regole produce scritture prive di significato — come $0/0$ o $\infty-\infty$ — le forme indeterminate: il limite non si può calcolare direttamente e occorre una strategia.

• Forme determinate
• Forme indeterminate

When the limits of two functions are finite, the limit of their sum, product or quotient is obtained simply by combining the values: these are the determinate forms. In certain cases, however, applying the rules directly produces meaningless expressions — such as $0/0$ or $\infty-\infty$ — the indeterminate forms: the limit cannot be computed directly and a strategy is needed.

• Determinate forms
• Indeterminate forms

Quando entrambi i limiti sono finiti, le operazioni sui limiti seguono le regole naturali dell’algebra.

In sintesi — Regola 1: forme determinate

Se $\lim f(x) = a$ e $\lim g(x) = b$ (entrambi finiti), allora:

• $\lim(f+g) = a+b$,   $\lim(f\cdot g) = ab$,   $\lim(f/g) = a/b$ se $b\ne 0$;
• $\lim f^{\,g} = a^{\,b}$ se $a>0$.

In tutti questi casi il limite si calcola “direttamente”, sostituendo i valori limite delle singole funzioni.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Forme determinate · Limite
Competenze: Usare formule

When both limits are finite, operations on limits follow the natural rules of algebra.

In summary — Rule 1: determinate forms

If $\lim f(x) = a$ and $\lim g(x) = b$ (both finite), then:

• $\lim(f+g) = a+b$,   $\lim(f\cdot g) = ab$,   $\lim(f/g) = a/b$ if $b\ne 0$;
• $\lim f^{\,g} = a^{\,b}$ if $a>0$.

In all these cases the limit is computed “directly”, by substituting the limit values of the individual functions.

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Topics: Limits
Concepts: Determinate forms · Limit
Skills: Using formulae

Non sempre le regole si applicano direttamente: certe combinazioni producono scritture prive di valore definito.

In sintesi — Regola 2: forme indeterminate

Quando l’applicazione delle regole produce un’espressione del tipo $\frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad \infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad 1^\infty,\quad \infty^0,\quad 0^0,$ il limite non si può calcolare direttamente: occorre trasformare l’espressione. Le strategie si classificano in quattro strade:

1. Sostituire le funzioni equivalenti (approssimazioni per $x\to x_0$);
2. Semplificare con la gerarchia degli infiniti/infinitesimi;
3. Scomporre numeratore e denominatore in fattori e semplificare;
4. Razionalizzare (soprattutto con radici, nelle forme $\infty-\infty$).

Lo schema seguente riassume la scelta della strategia a partire dalla forma indeterminata.

Le quattro strategie per sciogliere una forma indeterminata.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Forme indeterminate · Limite
Competenze: Ragionare per casi

The rules do not always apply directly: certain combinations produce expressions with no definite value.

In summary — Rule 2: indeterminate forms

When applying the rules produces an expression of the type $\frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad \infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad 1^\infty,\quad \infty^0,\quad 0^0,$ the limit cannot be computed directly: the expression must be transformed. The strategies fall into four routes:

1. Substitute equivalent functions (approximations for $x\to x_0$);
2. Simplify using the hierarchy of infinities/infinitesimals;
3. Factorise the numerator and denominator and simplify;
4. Rationalise (especially with roots, in $\infty-\infty$ forms).

The following diagram summarises the choice of strategy according to the indeterminate form.

The four strategies for resolving an indeterminate form.

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Topics: Limits
Concepts: Indeterminate forms · Limit
Skills: Reasoning by cases