Derivate delle funzioni elementari

La tabella delle derivate fondamentali e le regole di calcolo (linearità, prodotto, quoziente) sono gli strumenti di base: con esse si deriva qualsiasi combinazione algebrica di funzioni elementari. La derivata della composizione è invece trattata nella sezione dedicata al diagramma a cerchi.

• Tabella delle derivate fondamentali
• Linearità, prodotto e quoziente

The table of fundamental derivatives and the rules of calculation (linearity, product, quotient) are the basic tools: with them one differentiates any algebraic combination of elementary functions. The derivative of a composition is instead dealt with in the section devoted to the circle diagram.

• Table of fundamental derivatives
• Linearity, product and quotient

Le derivate delle funzioni elementari vanno conosciute a memoria: sono i “mattoni” con cui, usando le regole di derivazione, si costruisce la derivata di qualsiasi espressione.

In sintesi — Derivate delle funzioni elementari

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$k$	$0$	$\sin x$	$\cos x$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$	$\tan x$	$1/\cos^2 x$
$a^x$	$a^x\ln a$	$\arcsin x$	$1/\sqrt{1-x^2}$
$\ln x$	$1/x$	$\arccos x$	$-1/\sqrt{1-x^2}$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$\arctan x$	$1/(1+x^2)$

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Concetti: Derivata · Derivate fondamentali
Competenze: Derivare · Usare formule

The derivatives of the elementary functions must be known by heart: they are the “building blocks” from which, using the rules of differentiation, one constructs the derivative of any expression.

In brief — Derivatives of the elementary functions

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$k$	$0$	$\sin x$	$\cos x$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$	$\tan x$	$1/\cos^2 x$
$a^x$	$a^x\ln a$	$\arcsin x$	$1/\sqrt{1-x^2}$
$\ln x$	$1/x$	$\arccos x$	$-1/\sqrt{1-x^2}$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$\arctan x$	$1/(1+x^2)$

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Per derivare somme, prodotti e quozienti di funzioni note bastano tre regole. Attenzione: la derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate.

Osservazione — Linearità e regola del prodotto

• La derivata della somma è la somma delle derivate: $(f+g)' = f'+g'$.
• La derivata del prodotto $f\cdot g$ non è $f'\cdot g'$: è $(f\cdot g)' = f'\,g + f\,g'$.
• La derivata del quoziente: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$.

Esempio — Prodotto e quoziente

$(x\sin x)' = x'\sin x + x\cdot(\sin x)' = 1\cdot\sin x + x\cos x = \sin x + x\cos x.$ $\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)' = \dfrac{x'\sin x - x(\sin x)'}{\sin^2 x} = \dfrac{\sin x - x\cos x}{\sin^2 x}.$

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Competenze: Derivare · Usare formule

To differentiate sums, products and quotients of known functions, three rules suffice. Beware: the derivative of the product is not the product of the derivatives.

Remark — Linearity and the product rule

• The derivative of the sum is the sum of the derivatives: $(f+g)' = f'+g'$.
• The derivative of the product $f\cdot g$ is not $f'\cdot g'$: it is $(f\cdot g)' = f'\,g + f\,g'$.
• The derivative of the quotient: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$.

Example — Product and quotient

$(x\sin x)' = x'\sin x + x\cdot(\sin x)' = 1\cdot\sin x + x\cos x = \sin x + x\cos x.$ $\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)' = \dfrac{x'\sin x - x(\sin x)'}{\sin^2 x} = \dfrac{\sin x - x\cos x}{\sin^2 x}.$

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