Teorema del coseno (o di Carnot)

Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot, è la generalizzazione del teorema di Pitagora ai triangoli qualsiasi: lega i tre lati di un triangolo al coseno di uno degli angoli. Ne vediamo l’enunciato, una dimostrazione elegante tramite il prodotto scalare e un esempio di applicazione alla risoluzione di un triangolo di cui si conoscono due lati e l’angolo compreso.

• Teorema del coseno
• Dimostrazione del teorema del coseno
• Risolvere un triangolo con il teorema del coseno

The law of cosines, also called Carnot’s theorem, is the generalisation of Pythagoras’ theorem to general triangles: it links the three sides of a triangle to the cosine of one of its angles. We look at its statement, an elegant proof via the scalar product and an example of its application to solving a triangle whose two sides and included angle are known.

• The law of cosines
• Proof of the law of cosines
• Solving a triangle with the law of cosines

Per i triangoli rettangoli disponiamo del teorema di Pitagora. Ma cosa succede in un triangolo qualsiasi? La risposta è il teorema del coseno.

Teorema — Teorema del coseno

In un triangolo qualsiasi $ABC$ con lati $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ opposti ai vertici $A,B,C$, si ha: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.$ (E analogamente per $b^2$ e $c^2$, permutando ciclicamente.)

Il teorema generalizza quello di Pitagora: se $\widehat{A} = \pi/2$, allora $\cos\widehat{A}=0$ e la formula si riduce a $a^2 = b^2 + c^2$. Il “termine correttivo” $-2bc\cos\widehat{A}$ misura quanto l’angolo differisce dal retto.

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Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Risoluzione triangoli · Teorema del coseno · Teorema di carnot · Teorema di pitagora
Funzioni: Coseno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Usare formule

For right-angled triangles we have Pythagoras’ theorem. But what happens in a general triangle? The answer is the law of cosines.

Theorem — The law of cosines

In a general triangle $ABC$ with sides $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ opposite the vertices $A,B,C$, we have: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.$ (And likewise for $b^2$ and $c^2$, by cyclic permutation.)

The theorem generalises Pythagoras’: if $\widehat{A} = \pi/2$, then $\cos\widehat{A}=0$ and the formula reduces to $a^2 = b^2 + c^2$. The “correction term” $-2bc\cos\widehat{A}$ measures how much the angle differs from a right angle.

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Topics: Triangle trigonometry
Concepts: Solving triangles · The law of cosines · Carnot’s theorem · Pythagoras’ theorem
Functions: Cosine
Methods: Solving triangles
Skills: Using formulae

Una delle dimostrazioni più eleganti del teorema del coseno usa i vettori e il prodotto scalare.

Dimostrazione — Via prodotto scalare

Interpretiamo i lati come vettori: $\vec{AB} = \vec{c}$, $\vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{BC} = \vec{a}$. Vale la relazione di Chasles: $\vec{a} = \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{c}.$ Calcoliamo il modulo al quadrato usando il prodotto scalare: $|\vec{a}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} = (\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = |\vec{b}|^2 - 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2.$ Ma $\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos\widehat{A}$, perché l’angolo tra $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$ è proprio $\widehat{A}$. Sostituendo e usando $|\vec{a}|=a$, $|\vec{b}|=b$, $|\vec{c}|=c$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}. \qquad \blacksquare$

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Concetti: Prodotto scalare · Teorema del coseno
Funzioni: Coseno
Competenze: Dimostrare

One of the most elegant proofs of the law of cosines uses vectors and the scalar product.

Proof — Via the scalar product

We interpret the sides as vectors: $\vec{AB} = \vec{c}$, $\vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{BC} = \vec{a}$. Chasles’ relation holds: $\vec{a} = \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{c}.$ We compute the squared modulus using the scalar product: $|\vec{a}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} = (\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = |\vec{b}|^2 - 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2.$ But $\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}|\,|\vec{c}|\cos\widehat{A}$, because the angle between $\vec{AB}$ and $\vec{AC}$ is precisely $\widehat{A}$. Substituting and using $|\vec{a}|=a$, $|\vec{b}|=b$, $|\vec{c}|=c$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}. \qquad \blacksquare$

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Functions: Cosine
Skills: Proving

Quando di un triangolo conosciamo due lati e l’angolo compreso, il teorema del coseno permette di trovare subito il terzo lato.

Esempio — Risoluzione di un triangolo, lati-angolo

Un triangolo ha lati $b=5$, $c=7$ e angolo compreso $\widehat{A} = 60°$. Trovare il terzo lato $a$.

$a^2 = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos 60° = 74 - 70\cdot\tfrac12 = 74 - 35 = 39.$ Quindi $a = \sqrt{39}\approx 6{,}24$.

Un triangolo qualunque. Tracciando la perpendicolare $CH$ al lato $AB$ il triangolo si divide in due triangoli rettangoli.

Nei triangoli rettangoli le funzioni goniometriche elementari si applicano direttamente, e combinandole si ricava proprio il teorema del coseno.

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Funzioni: Coseno
Metodi: Triangolo risoluzione
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica · Usare formule

When we know two sides and the included angle of a triangle, the law of cosines lets us immediately find the third side.

Example — Solving a triangle, side-angle-side

A triangle has sides $b=5$, $c=7$ and included angle $\widehat{A} = 60°$. Find the third side $a$.

$a^2 = 25 + 49 - 2\cdot 5\cdot 7\cdot\cos 60° = 74 - 70\cdot\tfrac12 = 74 - 35 = 39.$ So $a = \sqrt{39}\approx 6{,}24$.

A general triangle. By drawing the perpendicular $CH$ to the side $AB$, the triangle is split into two right-angled triangles.

In right-angled triangles the elementary trigonometric functions apply directly, and by combining them one recovers precisely the law of cosines.

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