Archi associati

Gli archi associati sono “parenti” di un angolo $\alpha$ ottenuti con simmetrie elementari sulla circonferenza goniometrica: angoli opposti, supplementari, che differiscono di $\pi$, complementari. Conoscere come si comportano $\sin,\cos,\tan$ sotto queste simmetrie permette di ricondurre il calcolo di qualsiasi angolo al caso di un angolo del primo quadrante.

• Che cosa sono gli archi associati
• Archi opposti
• Archi supplementari
• Archi che differiscono di pi greco
• Archi complementari
• Come ridurre un angolo al primo quadrante
• Leggere le soluzioni sul grafico

Associated arcs are “relatives” of an angle $\alpha$ obtained by elementary symmetries on the unit circle: opposite angles, supplementary ones, those differing by $\pi$, complementary ones. Knowing how $\sin,\cos,\tan$ behave under these symmetries lets us reduce the computation of any angle to the case of an angle in the first quadrant.

• What associated arcs are
• Opposite arcs
• Supplementary arcs
• Arcs differing by pi
• Complementary arcs
• How to reduce an angle to the first quadrant
• Reading the solutions off the graph

Gli archi associati sono “parenti” di un angolo $\alpha$ ottenuti con simmetrie elementari sulla circonferenza goniometrica. Conoscere come si comportano $\sin,\cos,\tan$ sotto queste simmetrie permette di ridurre il calcolo di qualsiasi angolo al caso di un angolo nel primo quadrante ($0\le\alpha\le\pi/2$), dove si usano i valori notevoli.

I quattro tipi principali di archi associati corrispondono ad altrettante simmetrie: angoli opposti (simmetria rispetto all’asse $x$), supplementari (rispetto all’asse $y$), che differiscono di $\pi$ (rispetto all’origine) e complementari (rispetto alla bisettrice $y=x$).

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Circonferenza goniometrica

Associated arcs are “relatives” of an angle $\alpha$ obtained by elementary symmetries on the unit circle. Knowing how $\sin,\cos,\tan$ behave under these symmetries lets us reduce the computation of any angle to the case of an angle in the first quadrant ($0\le\alpha\le\pi/2$), where the special values are used.

The four main types of associated arcs correspond to as many symmetries: opposite angles (symmetry about the $x$-axis), supplementary ones (about the $y$-axis), those differing by $\pi$ (about the origin) and complementary ones (about the bisector $y=x$).

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Topics: Trigonometry
Concepts: Associated arcs · Unit circle

Proprietà — Archi opposti: $-\alpha$

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha,\qquad \cos(-\alpha) = \cos\alpha,\qquad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha.$ Geometricamente: il punto $P_{-\alpha}$ è il simmetrico di $P_\alpha$ rispetto all’asse $x$. Ascissa invariata, ordinata cambiata di segno.

Queste formule esprimono il fatto che $\cos$ è una funzione pari e $\sin$ (come $\tan$) è dispari.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Coseno · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Usare formule

Property — Opposite arcs: $-\alpha$

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha,\qquad \cos(-\alpha) = \cos\alpha,\qquad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha.$ Geometrically: the point $P_{-\alpha}$ is the mirror image of $P_\alpha$ about the $x$-axis. Abscissa unchanged, ordinate with its sign reversed.

These formulae express the fact that $\cos$ is an even function and $\sin$ (like $\tan$) is odd.

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Topics: Trigonometry
Concepts: Associated arcs · Cosine · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Using formulae

Proprietà — Archi supplementari: $\pi - \alpha$

$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha,\qquad \tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha.$ Simmetria rispetto all’asse $y$: il punto $P_{\pi-\alpha}$ ha la stessa ordinata di $P_\alpha$ (stesso seno) e ascissa opposta (coseno cambiato di segno).

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Coseno · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Usare formule

Property — Supplementary arcs: $\pi - \alpha$

$\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha,\qquad \tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha.$ Symmetry about the $y$-axis: the point $P_{\pi-\alpha}$ has the same ordinate as $P_\alpha$ (same sine) and opposite abscissa (cosine with its sign reversed).

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Topics: Trigonometry
Concepts: Associated arcs · Cosine · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Using formulae

Proprietà — Archi che differiscono di $\pi$: $\pi + \alpha$

$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha,\qquad \cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha,\qquad \tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha.$ Simmetria rispetto all’origine: il punto $P_{\pi+\alpha}$ è diametralmente opposto a $P_\alpha$, quindi ha entrambe le coordinate cambiate di segno. La tangente, rapporto di due quantità cambiate di segno, resta invariata: è questa la ragione per cui $\tan$ ha periodo $\pi$.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Coseno · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Usare formule

Property — Arcs differing by $\pi$: $\pi + \alpha$

$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha,\qquad \cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha,\qquad \tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha.$ Symmetry about the origin: the point $P_{\pi+\alpha}$ is diametrically opposite $P_\alpha$, so it has both coordinates with their signs reversed. The tangent, being the ratio of two quantities with reversed signs, stays unchanged: this is the reason why $\tan$ has period $\pi$.

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Concepts: Associated arcs · Cosine · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Using formulae

Proprietà — Archi complementari: $\tfrac{\pi}{2} - \alpha$

$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha,\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha,\qquad \tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \tfrac{1}{\tan\alpha} = \cot\alpha.$ Simmetria rispetto alla bisettrice $y=x$: seno e coseno si scambiano.

Da qui il nome “co-seno” (seno dell’angolo complementare) e “co-tangente”.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Coseno · Cotangente · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Usare formule

Property — Complementary arcs: $\tfrac{\pi}{2} - \alpha$

$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha,\qquad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha,\qquad \tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \tfrac{1}{\tan\alpha} = \cot\alpha.$ Symmetry about the bisector $y=x$: sine and cosine swap over.

Hence the name “co-sine” (sine of the complementary angle) and “co-tangent”.

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Concepts: Associated arcs · Cosine · Cotangent · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine
Skills: Using formulae

Le formule degli archi associati si usano quasi sempre nello stesso modo: per ridurre il calcolo di un angolo generico a un angolo del primo quadrante.

In sintesi — Come usarli in pratica

Dato un angolo generico (anche negativo, o maggiore di $2\pi$, o in uno dei quadranti II, III, IV), per calcolarne $\sin/\cos/\tan$:

1. riducilo all’intervallo $[0,2\pi)$ sottraendo multipli di $2\pi$;
2. se è in quadrante II/III/IV, applica l’arco associato appropriato per ricondurlo al primo quadrante;
3. calcolalo usando la tabella dei valori notevoli o la definizione.

Esempio — Un angolo del secondo quadrante

Calcolare $\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)$.

$\tfrac{5\pi}{6}$ è nel secondo quadrante ($\pi/2 < 5\pi/6 < \pi$). Usiamo gli archi supplementari: $\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = \tfrac{1}{2}.$

Esempio — Un angolo negativo

Calcolare $\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{4}\right)$.

Usiamo prima gli archi opposti: $\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)$. Poi osserviamo che $\tfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \tfrac{\pi}{4}$, quindi è nel quarto quadrante: $\cos\!\left(2\pi - \tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.$

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Angoli notevoli · Archi associati
Competenze: Calcolare · Ragionare per casi · Usare formule

The formulae for associated arcs are almost always used in the same way: to reduce the computation of a general angle to an angle in the first quadrant.

In brief — How to use them in practice

Given a general angle (even negative, or greater than $2\pi$, or in one of quadrants II, III, IV), to compute its $\sin/\cos/\tan$:

1. reduce it to the interval $[0,2\pi)$ by subtracting multiples of $2\pi$;
2. if it is in quadrant II/III/IV, apply the appropriate associated arc to bring it back to the first quadrant;
3. compute it using the table of special values or the definition.

Example — A second-quadrant angle

Compute $\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)$.

$\tfrac{5\pi}{6}$ is in the second quadrant ($\pi/2 < 5\pi/6 < \pi$). We use supplementary arcs: $\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = \tfrac{1}{2}.$

Example — A negative angle

Compute $\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{4}\right)$.

First we use opposite arcs: $\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)$. Then we note that $\tfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \tfrac{\pi}{4}$, so it is in the fourth quadrant: $\cos\!\left(2\pi - \tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.$

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Skills: Calculating · Reasoning by cases · Using formulae

Le soluzioni di un’equazione goniometrica elementare come $\sin x = \tfrac{1}{2}$ si visualizzano come intersezioni del grafico con una retta orizzontale.

L’equazione $\sin x = 1/2$ in $[0,2\pi)$ ha due soluzioni, $\pi/6$ e $5\pi/6$, corrispondenti alle due intersezioni del grafico di $\sin$ con la retta orizzontale $y=1/2$.

Aggiungendo $2k\pi$ a ciascuna delle due soluzioni si ottengono tutte le infinite soluzioni dell’equazione.

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Concetti: Equazione goniometrica · Seno
Funzioni: Seno
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere equazioni

The solutions of an elementary trigonometric equation such as $\sin x = \tfrac{1}{2}$ are visualised as intersections of the graph with a horizontal line.

The equation $\sin x = 1/2$ on $[0,2\pi)$ has two solutions, $\pi/6$ and $5\pi/6$, corresponding to the two intersections of the graph of $\sin$ with the horizontal line $y=1/2$.

Adding $2k\pi$ to each of the two solutions gives all the infinitely many solutions of the equation.

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