La sfera

La sfera è il terzo solido di rotazione, con le sue formule essenziali per superficie e volume. Un esempio mostra come determinare il raggio di una sfera inscritta in un cono passando per la sezione con un piano per l’asse.

• Superficie e volume della sfera
• Sfera inscritta in un cono

The sphere is the third solid of revolution, with its essential formulas for surface area and volume. An example shows how to determine the radius of a sphere inscribed in a cone by passing through the section with a plane through the axis.

• Surface area and volume of the sphere
• Sphere inscribed in a cone

La sfera si ottiene dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. Le sue formule dipendono solo dal raggio $R$.

Proprietà — Sfera

$V = \tfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Sfera · Solidi di rotazione · Superficie · Volume
Competenze: Usare formule

The sphere is obtained from the complete rotation of a semicircle about its diameter. Its formulas depend only on the radius $R$.

Property — Sphere

$V = \tfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2.$

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Sphere · Solids of revolution · Surface area · Volume
Skills: Using formulas

Molti problemi su solidi inscritti si risolvono passando a una sezione piana: la sfera inscritta in un cono ne è un esempio tipico.

Esempio — Sfera inscritta in un cono

In un cono retto, la sfera inscritta ha il centro sull’asse del cono. Sezionando il cono con un piano passante per l’asse si ottiene un triangolo isoscele, e la sezione della sfera è il cerchio inscritto in quel triangolo. Il raggio della sfera si ricava allora come $r_{\text{sfera}} = \frac{S_{\text{triangolo}}}{s},$ dove $s$ è il semiperimetro del triangolo di sezione.

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Cono · Sfera
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica

Many problems about inscribed solids are solved by passing to a plane section: the sphere inscribed in a cone is a typical example.

Example — Sphere inscribed in a cone

In a right cone, the inscribed sphere has its centre on the axis of the cone. Sectioning the cone with a plane passing through the axis gives an isosceles triangle, and the section of the sphere is the circle inscribed in that triangle. The radius of the sphere is then obtained as $r_{\text{sfera}} = \frac{S_{\text{triangolo}}}{s},$ where $s$ is the semiperimeter of the section triangle.

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Topics: Synthetic geometry of space
Concepts: Cone · Sphere
Skills: Calculating · Synthetic geometry