Dimostrare

Competenza — Dimostrare.

Presente nei capitoli

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Atomi collegati

246 atomi collegati.

01 Numeri e operazioni fondamentali

• Cinque alla n meno uno è divisibile per quattro
• Combinazione lineare di numeri divisibili
• Coprimalità di 3a+2 e 5a+3
• Divisibilità per 45 implica per 15
• Idea della dimostrazione dei criteri
• Identità di Bézout
• Il MCD divide il minimo comune multiplo
• Il MCD non cambia sottraendo
• Interi consecutivi coprimi
• L’unica terna di primi dispari consecutivi
• La somma di tre multipli di 7 è multipla di 7
• Perché basta fermarsi alla radice di N
• Perché ogni albero dei fattori ha lo stesso numero di coppie
• Se un numero divide due, divide il terzo
• Transitività della divisibilità

02 Calcolo letterale

• La somma di cubi n cubo più otto non è mai prima

04 Percentuali

• Aumento e riduzione non si compensano

06 Sistemi di equazioni lineari

• Verifica che (AB) inversa uguale B inversa per A inversa

07 Teoria degli insiemi

• Binomio di Newton per induzione
• Disuguaglianza 2 alla n maggiore di n quadrato
• Disuguaglianza di Bernoulli
• Divisibilità di n cubo meno n per 6
• Equivalenza di due implicazioni
• Equivalenze logiche e leggi di De Morgan
• Esprimere la disgiunzione esclusiva con i connettivi di base
• Il principio di induzione
• Il prodotto di divisori divide il prodotto
• Inclusione e intersezione uguale al sottoinsieme
• Induzione il numero di sottoinsiemi è 2 alla n
• Induzione la somma dei primi n numeri dispari
• Ipotesi, conclusione e controesempio
• L’intersezione è contenuta in ciascun insieme
• La congruenza modulo n è una relazione di equivalenza
• La divisibilità è un ordine parziale
• Ordine lessicografico e ordine sulle coppie
• Ordine totale e il minore stretto
• Semplificare espressioni logiche
• Somma dei cubi per induzione
• Somma dei primi n naturali
• Somma dei primi n quadrati
• Transitività dell’inclusione a catena
• Validità di un argomento logico
• Verifica di un’equivalenza con la tavola di verità

08 Fondamenti di geometria euclidea

• Angoli alla base del triangolo isoscele
• Angoli opposti al vertice
• Angoli opposti congruenti e parallelogramma
• Applicazione dello schema
• Asse di un segmento
• Bisettrice come asse e quadrilateri con diagonali particolari
• Bisettrice, mediana e altezza
• Che cos’è un teorema
• Diagonali che si bisecano e parallelogramma
• Dimostrazione per assurdo
• Dimostrazioni con il parallelismo
• Euclide e gli Elementi
• I passi logici di una dimostrazione
• Il rombo e la diagonale bisettrice
• Il rombo e le diagonali perpendicolari
• Il sillogismo
• Il teorema inverso
• L’angolo esterno come somma degli interni non adiacenti
• L’angolo esterno è maggiore degli interni non adiacenti
• L’asse come luogo geometrico
• Le cinque mosse più frequenti
• Problema — Angoli supplementari consecutivi sono adiacenti
• Problema — Angolo esterno alla base del triangolo isoscele è ottuso
• Problema — Angolo tra due altezze di un triangolo acutangolo
• Problema — Angolo tra due bisettrici interne di un triangolo
• Problema — Bisettrici degli angoli alla base congruenti
• Problema — Bisettrici di angoli adiacenti perpendicolari
• Problema — Bisettrici di angoli alterni interni parallele
• Problema — Bisettrici di angoli corrispondenti parallele
• Problema — Bisettrici di angoli opposti al vertice
• Problema — Complementari di angoli acuti disuguali
• Problema — Congruenza con le altezze
• Problema — Congruenza di triangoli isosceli con angolo al vertice
• Problema — Criterio di congruenza con gli angoli esterni
• Problema — I punti medi dei lati di un rettangolo formano un rombo
• Problema — Il parallelogramma di Varignon e le sue classificazioni
• Problema — Le bisettrici di un parallelogramma formano un rettangolo
• Problema — Le bisettrici di un rettangolo formano un quadrato
• Problema — Le diagonali del trapezio isoscele sono congruenti
• Problema — Le metà di angoli supplementari sono complementari
• Problema — Luogo degli estremi di segmenti congruenti e paralleli da una retta
• Problema — Luogo dei punti medi dei segmenti da un punto a una retta
• Problema — Luogo del vertice di un triangolo con base e altezza fissate
• Problema — Mediana relativa all’ipotenusa
• Problema — Mediana uguale a metà del lato implica triangolo rettangolo
• Problema — Nel trapezio la differenza delle basi è minore della somma dei lati obliqui
• Problema — Punti equidistanti sui lati di un triangolo equilatero
• Problema — Punti medi e differenza di segmenti
• Problema — Triangolo diviso dai punti medi in quattro triangoli congruenti
• Problema — Triangolo rettangolo con un angolo doppio dell’altro
• Schema per le dimostrazioni
• Somma degli angoli interni di un poligono
• Somma degli angoli interni di un triangolo
• Teoria, postulati e teoremi

09 Metodo di lavoro — come risolvere un problema

• Esempio — capire un problema di geometria
• Esempio — cercare la strada, il triangolo isoscele
• Esempio — rileggere la dimostrazione della bisettrice
• Esempio — svolgere la dimostrazione della bisettrice
• Problema svolto — la bisettrice del triangolo isoscele

10 Equazioni di secondo grado e fratte

• Il caso del discriminante nullo
• Verifica di una radice della cubica

11 Disequazioni

• Dimostrare $(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2$
• Dimostrare $\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2ab}{a+b}$ per $a,b>0$
• Dimostrare $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}$
• Dimostrare $\sqrt{uv}\le\dfrac{u+v}{2}$ per $u,v\ge 0$
• Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$
• Dimostrare $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$
• Dimostrare che $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}\ge 2$ per $a>0$

14 Equivalenza e teorema di Pitagora

• Enunciati di Euclide, Talete, similitudine e bisettrice
• Equiscomponibilità di triangolo e parallelogramma
• I punti medi dei lati generano quattro triangoli equivalenti
• Il parallelogramma di Varignon è metà del quadrilatero
• Il quadrato sulla diagonale è doppio del quadrato
• Incommensurabilità di lato e altezza del triangolo equilatero
• La mediana divide il triangolo in due parti equivalenti
• Primo teorema di Euclide, dimostrazioni e inverso
• Quadrato dell’altezza nel triangolo equilatero
• Rettangolo dei cateti e rettangolo di ipotenusa e altezza
• Talete grande, equiscomponibilità e triangolo-parallelogramma
• Teorema della mediana e calcolo di una mediana
• Teorema di Pitagora

15 Similitudine

• Corda minima per un punto interno e media proporzionale
• Corda per il baricentro parallela a un lato
• Dimostrazione dei teoremi di Euclide
• Enunciato e dimostrazione del teorema della bisettrice
• Il problema del Paguro
• Parallela per il baricentro e rapporto delle aree
• Parallela per l’incentro in un triangolo rettangolo
• Proporzionalità di mediane, bisettrici e altezze in triangoli simili
• Teorema della bisettrice e teorema dei punti medi
• Teorema di Talete sul fascio di rette tagliato da parallele

16 Circonferenza

• Baricentro - concorrenza delle mediane
• Circocentro - concorrenza degli assi
• Dimostrazione dell’angolo al centro
• Incentro - concorrenza delle bisettrici
• Media aritmetica e media geometrica
• Ortocentro - concorrenza delle altezze
• Problema — Angolo al centro triplo
• Problema — Centro sulla bisettrice dell’angolo
• Problema — Corde congruenti e il diametro
• Problema — Corde parallele dagli estremi di un diametro
• Problema — Corde parallele e archi congruenti
• Problema — Secante a due circonferenze concentriche
• Problema — Segmenti di tangenza da un punto esterno
• Problema — Tangenti agli estremi di un diametro
• Problema — Trapezio isoscele da corde parallele
• Raggio della circonferenza inscritta
• Tangenti da un punto esterno
• Teoria della circonferenza, corde, quadrilateri e circocentro

17 Disequazioni irrazionali

• Elevare al quadrato senza sdoppiare

19 Luoghi geometrici nel piano cartesiano

• Formule di fuoco, vertice e direttrice
• Perché il luogo è una retta

20 Circonferenza nel piano cartesiano

• Dalla definizione all’equazione
• L’asse radicale

21 Ellisse

• Dimostrazione dell’equazione canonica

22 Iperbole e funzione omografica

• Dimostrazione degli asintoti
• Iperbole equilatera xy=6

23 Funzioni, linguaggio e proprietà

• Corrispondenza biunivoca tra sottoinsiemi
• Effetto di una tassa sull’equilibrio
• Il prodotto di due biiezioni è una biiezione
• Iniettività di una cubica
• Iniezione tra gli insiemi delle parti
• L’ordine puntuale tra funzioni è parziale
• (x²+1)
• Una biiezione dai naturali agli interi

26 Funzione logaritmica

• Cambiamento di base da 3 a 7
• Dimostrazione del cambio di base
• Dimostrazione della proprietà del prodotto

28 Circonferenza goniometrica e funzioni sin, cos, tan

• Identità con arctan
• Identità con secante e tangente
• Identità con secante e tangente
• Identità fondamentale con archi complementari
• L’identità fondamentale
• Periodicità
• Semplificare con gli archi associati
• Sinusoide, ampiezza, periodo e simmetria
• Tangente, fascio e angolo sulla circonferenza goniometrica

29 Formule di addizione, duplicazione, bisezione

• Come si ricavano le altre formule
• Dimostrazione della formula di sottrazione del coseno
• Dimostrazione delle formule di bisezione
• Esempio: linearizzare sin⁴α
• 6) con seno e coseno di x
• Formula dell’angolo triplo del coseno
• Formula dell’angolo triplo del coseno
• Le formule di duplicazione
• Linearizzare sin²α cos²α
• Traslazione che trasforma seno in coseno

30 Formule parametriche, prostaferesi, Werner

• Formule di Werner: da prodotto a somma
• Identità sui tre angoli di un triangolo
• Le formule parametriche

33 Trigonometria dei triangoli

• Dimostrare la formula di Erone
• Dimostrazione del teorema dei seni
• Dimostrazione del teorema del coseno
• Dimostrazione della formula dell’area
• La formula di Erone come corollario
• Teorema della bisettrice con il teorema dei seni

34 Combinatoria

• Dimostrazione della formula di Tartaglia
• Somma di una riga del triangolo di Tartaglia

35 Probabilità avanzata

• Formula della distribuzione binomiale
• Problema — Le tre risposte di Bertrand
• Teorema della probabilità totale

36 Numeri complessi

• Baricentro delle radici
• Luoghi con il logaritmo e l’esponenziale complessi
• Proprietà di modulo e logaritmo complesso
• Relazioni di Vieta generalizzate
• Un ramo di iperbole

37 Geometria analitica nello spazio

• Distanza tra due rette sghembe
• Luogo equidistante da quattro punti
• Tre piani e punto comune

38 Geometria sintetica nello spazio

• Eulero per il prisma pentagonale
• Teorema delle tre perpendicolari

39 Successioni numeriche

• Esercizio svolto — Formula di Binet per Fibonacci
• n^n
• Esercizio svolto — Radice nidificata
• Somma dei primi n termini di una PA
• Teorema delle successioni monotone limitate

40 Limiti di funzioni

• n)
• Punto di accumulazione

41 Continuità e discontinuità

• [Funzione senza massimo su 0,1]
• Iterazione di Newton per il reciproco
• Newton esatto per funzioni lineari
• Teorema degli zeri
• Zero di x³−3x+1 con bisezione

42 Derivate

• Teorema di Lagrange
• Teorema di Rolle

44 Integrale

• Cavalieri all’opera - prisma e sfera
• Il principio di Cavalieri
• Integrale improprio con radice
• Piramidi equivalenti via Cavalieri
• Semisfera e cilindro via Cavalieri
• Triangoli equivalenti (Cavalieri 2D)
• Volume del cono per rotazione (due metodi)
• Volume della semisfera per rotazione (due metodi)
• Volume di rotazione via Cavalieri

45 Teoremi del calcolo

• Dimostrazione del teorema della media integrale
• Dimostrazione del teorema di Rolle
• Dimostrazione del teorema fondamentale
• Teorema di Lagrange per una funzione cubica
• Teorema di Lagrange su funzione a tratti con parametri
• Teorema di Lagrange su funzione a tratti esponenziale

47 Distribuzioni di probabilità

• Media della distribuzione esponenziale
• Proprietà dell’entropia
• Studio della funzione -p log p

Skill — Proving.

Featured in chapters

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Linked atoms

246 linked atoms.

Numbers and fundamental operations

• Consecutive integers are coprime
• Coprimality of 3a+2 and 5a+3
• Divisibility by 45 implies divisibility by 15
• Five to the n minus one is divisible by four
• Identità di Bézout
• If a number divides two of them, it divides the third
• Linear combination of divisible numbers
• The gcd divides the lcm
• The gcd is unchanged by subtraction
• The idea behind the proof of the rules
• The only triple of consecutive odd primes
• The sum of three multiples of 7 is a multiple of 7
• Transitivity of divisibility
• Why every factor tree has the same number of splits
• Why it is enough to stop at the square root of N

Literal calculus

• The sum of cubes n cubed plus eight is never prime

Percentages

• Increase and decrease do not cancel out

Systems of linear equations

• Verify that (AB) inverse equals B inverse times A inverse

Set theory

• Bernoulli’s inequality
• Checking an equivalence with the truth table
• Congruence modulo n is an equivalence relation
• Divisibility is a partial order
• Divisibility of n cubed minus n by 6
• Equivalence of two implications
• Expressing the exclusive or with basic connectives
• Hypothesis, conclusion and counterexample
• Inclusion and intersection equal to the subset
• Induction the number of subsets is 2 to the n
• Induction the sum of the first n odd numbers
• Inequality 2 to the n greater than n squared
• Lexicographic order and order on pairs
• Logical equivalences and De Morgan’s laws
• Newton’s binomial by induction
• Simplifying logical expressions
• Sum of cubes by induction
• Sum of the first n naturals
• Sum of the first n squares
• The intersection is contained in each set
• The principle of induction
• The product of divisors divides the product
• Total order and the strict less-than
• Transitivity of chained inclusion
• Validity of a logical argument

Foundations of Euclidean geometry

• A scheme for proofs
• Applying the scheme
• Base angles of the isosceles triangle
• Bisector, median and altitude
• Congruent opposite angles and parallelogram
• Diagonals that bisect each other and parallelogram
• Euclid and the Elements
• Perpendicular bisector of a segment
• Problem — A median equal to half a side implies a right triangle
• Problem — A right triangle with one angle double the other
• Problem — A triangle divided by its midpoints into four congruent triangles
• Problem — Angle between two altitudes of an acute triangle
• Problem — Angle between two internal bisectors of a triangle
• Problem — Bisectors of adjacent angles are perpendicular
• Problem — Bisectors of alternate interior angles are parallel
• Problem — Bisectors of corresponding angles are parallel
• Problem — Bisectors of the base angles are congruent
• Problem — Bisectors of vertical angles
• Problem — Complements of unequal acute angles
• Problem — Congruence criterion with exterior angles
• Problem — Congruence of isosceles triangles with equal apex angle
• Problem — Congruence with the altitudes
• Problem — Consecutive supplementary angles are adjacent
• Problem — Equally spaced points on an equilateral triangle
• Problem — Halves of supplementary angles are complementary
• Problem — In a trapezoid the difference of the bases is less than the sum of the legs
• Problem — Locus of the endpoints of congruent parallel segments from a line
• Problem — Locus of the midpoints of segments from a point to a line
• Problem — Locus of the vertex of a triangle with fixed base and altitude
• Problem — Midpoints and the difference of segments
• Problem — The bisectors of a parallelogram form a rectangle
• Problem — The bisectors of a rectangle form a square
• Problem — The diagonals of an isosceles trapezoid are congruent
• Problem — The exterior angle at the base of an isosceles triangle is obtuse
• Problem — The median to the hypotenuse
• Problem — The midpoints of a rectangle’s sides form a rhombus
• Problem — Varignon’s parallelogram and its classifications
• Proof by contradiction
• Proofs using parallelism
• Sum of the interior angles of a polygon
• Sum of the interior angles of a triangle
• The bisector as a perpendicular bisector, and quadrilaterals with special diagonals
• The converse theorem
• The exterior angle as the sum of the non-adjacent interior angles
• The exterior angle is greater than the non-adjacent interior angles
• The five most frequent moves
• The logical steps of a proof
• The perpendicular bisector as a locus
• The rhombus and the bisecting diagonal
• The rhombus and the perpendicular diagonals
• The syllogism
• Theory, postulates and theorems
• Vertically opposite angles
• What a theorem is

Working method — how to solve a problem

• Example — carrying out the angle-bisector proof
• Example — finding the path, the isosceles triangle
• Example — reviewing the angle-bisector proof
• Example — understanding a geometry problem
• Worked problem — the bisector of the isosceles triangle

Quadratic and fractional equations

• Checking a root of the cubic
• The case of the vanishing discriminant

Inequalities

• Dimostrare $(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2$
• Dimostrare $\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2ab}{a+b}$ per $a,b>0$
• Dimostrare $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}$
• Dimostrare $\sqrt{uv}\le\dfrac{u+v}{2}$ per $u,v\ge 0$
• Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$
• Dimostrare $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$
• Dimostrare che $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}\ge 2$ per $a>0$

Equivalence and Pythagoras’ theorem

• A median splits a triangle into two equal-area parts
• Equidecomposability of a triangle and a parallelogram
• Euclid’s first theorem, proofs and converse
• Incommensurability of the side and the altitude of an equilateral triangle
• Pythagoras’ theorem
• Rectangle of the legs and rectangle of hypotenuse and altitude
• Square of the altitude in an equilateral triangle
• Statements of Euclid, Thales, similarity and the bisector theorem
• Thales’ theorem, equidecomposability and triangle-parallelogram
• The median-length theorem and computing a median
• The midpoints of the sides create four equal-area triangles
• The square on the diagonal is double the square
• The Varignon parallelogram is half the quadrilateral

Similarity

• Parallel through the centroid and ratio of areas
• Parallel through the incenter in a right triangle
• Problem — A chord through the centroid parallel to a side
• Problem — Proportionality of medians, bisectors and altitudes in similar triangles
• Problem — Statement and proof of the angle-bisector theorem
• Problem — Thales’ theorem on a pencil of lines cut by parallels
• Problem — The shortest chord through an interior point and the geometric mean
• Proof of Euclid’s theorems
• The angle bisector theorem and the midpoint theorem
• The Hermit Crab problem

Circle (Euclidean geometry)

• Arithmetic mean and geometric mean
• Centroid - concurrency of the medians
• Circle theory, chords, quadrilaterals and circumcenter
• Circumcentre - concurrency of the perpendicular bisectors
• Incentre - concurrency of the bisectors
• Orthocentre - concurrency of the altitudes
• Problem — Centre on the angle bisector
• Problem — Congruent chords and the diameter
• Problem — Isosceles trapezoid from parallel chords
• Problem — Parallel chords and congruent arcs
• Problem — Parallel chords from the endpoints of a diameter
• Problem — Secant to two concentric circles
• Problem — Tangent segments from an external point
• Problem — Tangents at the endpoints of a diameter
• Problem — Triple central angle
• Proof of the central angle theorem
• Radius of the inscribed circle
• Tangents from an external point

Irrational inequalities

• Squaring without splitting into cases

Geometric loci in the Cartesian plane

• Formulae for focus, vertex and directrix
• Why the locus is a line

The circle in the Cartesian plane

• From the definition to the equation
• The radical axis

Ellipse

• Proof of the canonical equation

Hyperbola and homographic function

• Proof of the asymptotes
• Rectangular hyperbola xy=6

Functions: language and properties

• A bijection from the naturals to the integers
• Effect of a tax on the equilibrium
• Injection between power sets
• Injectivity of a cubic
• (x²+1)
• One-to-one correspondence between subsets
• The pointwise order on functions is partial
• The product of two bijections is a bijection

Logarithmic function

• Change of base from 3 to 7
• Proof of the change of base
• Proof of the product property

The unit circle and the functions sine, cosine, tangent

• Fundamental identity with complementary arcs
• Identity with arctan
• Identity with secant and tangent
• Identity with secant and tangent
• Periodicity
• Simplifying with associated arcs
• Sinusoid, amplitude, period and symmetry
• Tangent, pencil of lines and angle on the unit circle
• The fundamental identity

Addition, double-angle and half-angle formulae

• Example: linearising sin⁴α
• 6) via sine and cosine of x
• How the other formulae are derived
• Linearising sin²α cos²α
• Proof of the bisection formulae
• Proof of the cosine subtraction formula
• The duplication formulae
• Translation turning sine into cosine
• Triple-angle formula for the cosine
• Triple-angle formula for the cosine

Parametric, sum-to-product and Werner formulae

• Identity on the three angles of a triangle
• The parametric formulae
• Werner formulae: from product to sum

Triangle trigonometry

• Angle bisector theorem via the sine rule
• Heron’s formula as a corollary
• Proof of the area formula
• Proof of the law of cosines
• Proof of the sine rule
• Prove Heron’s formula

Combinatorics

• Proof of Tartaglia’s formula
• Sum of a row of Pascal’s triangle

Advanced probability

• Formula of the binomial distribution
• Problem — Bertrand’s three answers
• Total probability theorem

Complex numbers

• A branch of a hyperbola
• Centroid of the roots
• Generalised Vieta’s relations
• Loci with the complex logarithm and exponential
• Properties of modulus and complex logarithm

Analytic geometry in space

• Distance between two skew lines
• Locus equidistant from four points
• Three planes and a common point

Synthetic geometry in space

• Euler’s formula for the pentagonal prism
• Theorem of the three perpendiculars

Numerical sequences

• Sum of the first n terms of an AP
• Theorem of bounded monotone sequences
• Worked exercise — Binet’s formula for Fibonacci
• Worked exercise — Nested radical
• n^n

Limits of Functions

• n)
• Accumulation point

Continuity and discontinuity

• [Function with no maximum on 0,1]
• Newton exact for linear functions
• Newton iteration for the reciprocal
• The zero theorem
• Zero of x³−3x+1 with bisection

Derivatives

• Lagrange’s Theorem
• Rolle’s theorem

Integral

• Cavalieri at work - prism and sphere
• Cavalieri’s principle
• Equivalent pyramids via Cavalieri
• Equivalent triangles (Cavalieri 2D)
• Hemisphere and cylinder via Cavalieri
• Improper integral with a root
• Volume of revolution via Cavalieri
• Volume of the cone by rotation (two methods)
• Volume of the hemisphere by rotation (two methods)

Calculus theorems

• Lagrange’s theorem for a cubic function
• Lagrange’s theorem on a piecewise exponential function
• Lagrange’s theorem on a piecewise function with parameters
• Proof of Rolle’s theorem
• Proof of the fundamental theorem
• Proof of the integral mean value theorem

Probability distributions

• Mean of the exponential distribution
• Properties of entropy
• Study of the function -p log p