Come dimostrare un teorema di geometria

Dimostrare un teorema non è questione di talento: è questione di metodo. Questa sezione presenta un approccio sistematico, nella tradizione euclidea classica, per affrontare una dimostrazione di geometria: dal disegno accurato alla scrittura di ipotesi e tesi, dal ragionamento all’indietro alle costruzioni ausiliarie, fino al riconoscimento dei triangoli congruenti. Un esempio completo mostra lo schema all’opera.

• Schema per le dimostrazioni
• Le cinque mosse più frequenti
• Applicazione dello schema

Proving a theorem is not a matter of talent: it is a matter of method. This section presents a systematic approach, in the classical Euclidean tradition, for tackling a geometry proof: from the accurate drawing to the writing of hypothesis and thesis, from backward reasoning to auxiliary constructions, up to the recognition of congruent triangles. A complete example shows the scheme at work.

• A scheme for proofs
• The five most frequent moves
• Applying the scheme

Dimostrare un teorema non è questione di talento: è questione di metodo. Qui presentiamo un approccio sistematico, ispirato alla tradizione euclidea classica (Aref, Problems in plane geometry).

In sintesi — Schema per le dimostrazioni di geometria

1. Disegna una figura accurata. Una buona figura suggerisce le idee; una brutta figura le nasconde. Metti le etichette ($A,B,C,\ldots$) sui punti principali.
2. Scrivi Ipotesi e Tesi. Separa nettamente ciò che è dato (Hp) da ciò che devi dimostrare (Th). È il passo più importante.
3. Pensa all’indietro (Backward Thinking). Chiediti: “Per dimostrare la Tesi, cosa mi basterebbe sapere?” e risali verso le Ipotesi.
4. Cerca costruzioni ausiliarie. Spesso serve aggiungere un segmento, prolungare un lato, tracciare una parallela o un’altezza. Le costruzioni comuni sono:
   • prolungare un lato;
   • tracciare una parallela a un lato passante per un vertice;
   • tracciare un’altezza, una mediana o una bisettrice;
   • congiungere due punti per formare nuovi triangoli.
5. Identifica i triangoli. Quasi tutte le dimostrazioni di geometria piana si riducono a provare che due triangoli sono congruenti o simili. Cerca due triangoli con elementi in comune.
6. Giustifica ogni passaggio. Ogni affermazione deve essere motivata: “per ipotesi”, “per costruzione”, “per il I criterio”, “perché opposti al vertice”, ecc.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Criteri congruenza · Dimostrazione · Ipotesi tesi
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Proving a theorem is not a matter of talent: it is a matter of method. Here we present a systematic approach, inspired by the classical Euclidean tradition (Aref, Problems in plane geometry).

In brief — A scheme for geometry proofs

1. Draw an accurate figure. A good figure suggests the ideas; a bad figure hides them. Put the labels ($A,B,C,\ldots$) on the main points.
2. Write down Hypotheses and Thesis. Separate sharply what is given (Hp) from what you must prove (Th). It is the most important step.
3. Think backwards (Backward Thinking). Ask yourself: “To prove the Thesis, what would it suffice for me to know?” and work back towards the Hypotheses.
4. Look for auxiliary constructions. Often you need to add a segment, extend a side, draw a parallel or an altitude. The common constructions are:
   • extending a side;
   • drawing a parallel to a side through a vertex;
   • drawing an altitude, a median or an angle bisector;
   • joining two points to form new triangles.
5. Identify the triangles. Almost all plane geometry proofs reduce to showing that two triangles are congruent or similar. Look for two triangles with elements in common.
6. Justify every step. Every statement must be motivated: “by hypothesis”, “by construction”, “by the first criterion”, “because vertically opposite”, etc.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Congruence criteria · Proof · Hypothesis and thesis
Skills: Proving · Synthetic geometry

Con l’esperienza si scopre che le dimostrazioni del biennio ruotano quasi sempre attorno a poche situazioni ricorrenti. Impararle a riconoscere nella figura è metà del lavoro.

Osservazione — Le 5 mosse più frequenti nelle dimostrazioni

Le cinque situazioni che ricorrono nella maggior parte delle dimostrazioni di geometria euclidea del biennio.

Queste cinque situazioni ricorrono nella maggior parte delle dimostrazioni di geometria euclidea del biennio. Impara a riconoscerle nella figura!

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Angoli opposti al vertice · Angolo esterno · Dimostrazione · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

With experience you discover that the proofs of the first two years almost always revolve around a few recurring situations. Learning to recognise them in the figure is half the work.

Observation — The 5 most frequent moves in proofs

The five situations that recur in the majority of first-two-years Euclidean geometry proofs.

These five situations recur in the majority of first-two-years Euclidean geometry proofs. Learn to recognise them in the figure!

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Alternate interior angles · Vertically opposite angles · Exterior angle · Proof · Isosceles triangle
Skills: Proving · Synthetic geometry

Vediamo lo schema all’opera su un problema completo, seguendo i sei passi uno per uno.

Esempio — Applicazione dello schema

Problema: Nel triangolo $ABC$, sia $M$ il punto medio di $BC$. Dimostrare che $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.

1. Figura: triangolo $ABC$ con $M$ punto medio di $BC$. Prolungo $AM$ di un segmento $MD\cong AM$.

2. Hp: $BM\cong MC$.    Th: $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.

3. Backward Thinking: basta mostrare $2\,AM < AB+AC$, cioè $AM+MD < AB+AC$, cioè $AD < AB+AC$.

4. Costruzione: prolungo $AM$ oltre $M$ di $MD = AM$ e congiungo $D$ con $C$.

5. Triangoli: $\triangle AMB$ e $\triangle DMC$ hanno $AM\cong MD$, $BM\cong MC$, $\widehat{AMB}\cong\widehat{DMC}$ (opposti al vertice) $\implies$ per il I criterio $\implies$ $AB\cong DC$.

6. Conclusione: Per la disuguaglianza triangolare in $\triangle ADC$: $AD < AC + DC = AC + AB$. Dunque $2\,AM = AD < AB + AC$, cioè $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$. $\blacksquare$

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Criteri congruenza · Dimostrazione · Disuguaglianza triangolare · Mediana
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Let us see the scheme at work on a complete problem, following the six steps one by one.

Example — Applying the scheme

Problem: In the triangle $ABC$, let $M$ be the midpoint of $BC$. Prove that $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.

1. Figure: triangle $ABC$ with $M$ the midpoint of $BC$. I extend $AM$ by a segment $MD\cong AM$.

2. Hyp: $BM\cong MC$.    Thes: $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.

3. Backward Thinking: it is enough to show $2\,AM < AB+AC$, that is $AM+MD < AB+AC$, that is $AD < AB+AC$.

4. Construction: I extend $AM$ beyond $M$ by $MD = AM$ and I join $D$ to $C$.

5. Triangles: $\triangle AMB$ and $\triangle DMC$ have $AM\cong MD$, $BM\cong MC$, $\widehat{AMB}\cong\widehat{DMC}$ (vertically opposite) $\implies$ by the first criterion $\implies$ $AB\cong DC$.

6. Conclusion: By the triangle inequality in $\triangle ADC$: $AD < AC + DC = AC + AB$. Therefore $2\,AM = AD < AB + AC$, that is $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$. $\blacksquare$

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Congruence criteria · Proof · Triangle inequality · Median
Skills: Proving · Synthetic geometry