Teorema della media integrale

Il teorema della media integrale afferma che una funzione continua assume, in almeno un punto, il valore della propria media integrale sull’intervallo. Insieme al teorema di Weierstrass e a quello dei valori intermedi, costituisce il gradino su cui si appoggia la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale.

• La media integrale
• Il teorema della media integrale
• Dimostrazione del teorema della media integrale

The integral mean value theorem states that a continuous function takes, at at least one point, the value of its own integral mean over the interval. Together with Weierstrass’s theorem and the intermediate value theorem, it forms the step on which the proof of the fundamental theorem of integral calculus rests.

• The integral mean
• The integral mean value theorem
• Proof of the integral mean value theorem

Prima di enunciare il teorema, occorre definire che cosa si intende per valore medio di una funzione su un intervallo.

Definizione — Media integrale

La media integrale di $f$ su $[a,b]$ è: $\bar f_{ab} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$ Geometricamente è l’altezza del rettangolo di base $(b-a)$ che ha la stessa area della regione sotto il grafico.

L’area sotto il grafico di $f$ (in azzurro) è uguale all’area del rettangolo di altezza $\bar f$ (linea rossa tratteggiata) e base $(b-a)$.

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Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Integrale definito · Media integrale
Competenze: Integrare

Before stating the theorem, we need to define what is meant by the average value of a function over an interval.

Definition — Integral mean

The integral mean of $f$ on $[a,b]$ is: $\bar f_{ab} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$ Geometrically it is the height of the rectangle with base $(b-a)$ that has the same area as the region under the graph.

The area under the graph of $f$ (in light blue) equals the area of the rectangle of height $\bar f$ (dashed red line) and base $(b-a)$.

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Topics: Calculus theorems
Concepts: Definite integral · Integral mean
Skills: Integrating

Definita la media integrale, il teorema afferma che essa viene effettivamente raggiunta come valore della funzione in almeno un punto dell’intervallo.

Teorema — Teorema della media integrale

Se $f$ è continua su $[a,b]$, allora esiste almeno un punto $c\in[a,b]$ tale che: $f(c) = \bar f_{ab} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$ In altre parole: la funzione assume in almeno un punto il valore della sua media integrale.

Nella simulazione seguente il rettangolo di base $[a,b]$ e altezza pari alla media integrale $m$ ha la stessa area della regione sotto il grafico di $f$, e nel punto $c$ la funzione vale esattamente $m$.

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Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Media integrale · Teorema della media integrale
Competenze: Integrare

Having defined the integral mean, the theorem states that it is actually attained as the value of the function at at least one point of the interval.

Theorem — Integral mean value theorem

If $f$ is continuous on $[a,b]$, then there exists at least one point $c\in[a,b]$ such that: $f(c) = \bar f_{ab} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$ In other words: the function takes at at least one point the value of its integral mean.

In the following simulation the rectangle with base $[a,b]$ and height equal to the integral mean $m$ has the same area as the region under the graph of $f$, and at the point $c$ the function equals exactly $m$.

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Topics: Calculus theorems
Concepts: Integral mean · Integral mean value theorem
Skills: Integrating

La dimostrazione combina due teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass (esistenza di massimo e minimo) e i valori intermedi. Il filo conduttore è “incastrare” la media integrale tra il minimo e il massimo di $f$.

Dimostrazione

Passo 1 (Weierstrass). $f$ è continua su $[a,b]$, quindi per il teorema di Weierstrass ammette un valore minimo assoluto $f_{\min}$ e un valore massimo assoluto $f_{\max}$: $f_{\min} \le f(x) \le f_{\max} \qquad \text{per ogni } x\in[a,b].$

Passo 2 (integrazione delle disuguaglianze). Se si integrano funzioni ordinate da una disuguaglianza, gli integrali conservano la stessa disuguaglianza. Integrando da $a$ a $b$: $\int_a^b f_{\min}\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b f_{\max}\,dx.$ Ma $f_{\min}$ e $f_{\max}$ sono costanti, quindi: $f_{\min}\cdot(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le f_{\max}\cdot(b-a).$

Passo 3 (divisione). Dividendo tutto per $(b-a) > 0$: $f_{\min} \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le f_{\max},$ cioè $f_{\min} \le \bar f_{ab} \le f_{\max}$.

Passo 4 (valori intermedi). Siano $x_{\min}$ e $x_{\max}$ i punti dove $f$ raggiunge il minimo e il massimo: $f_{\min} = f(x_{\min})$, $f_{\max} = f(x_{\max})$. Sull’intervallo $[x_{\min}, x_{\max}]$ (o $[x_{\max}, x_{\min}]$), per il teorema dei valori intermedi, $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(x_{\min})$ e $f(x_{\max})$. Ma $\bar f_{ab}$ è compreso tra questi due valori: dunque esiste $c$ tale che $f(c) = \bar f_{ab}$. $\blacksquare$

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Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Teorema dei valori intermedi · Teorema della media integrale · Teorema di weierstrass
Competenze: Dimostrare · Integrare
Persone: Karl Weierstrass

The proof combines two theorems on continuous functions: Weierstrass (existence of a maximum and minimum) and the intermediate value theorem. The guiding idea is to “wedge” the integral mean between the minimum and the maximum of $f$.

Proof

Step 1 (Weierstrass). $f$ is continuous on $[a,b]$, so by Weierstrass’s theorem it admits an absolute minimum value $f_{\min}$ and an absolute maximum value $f_{\max}$: $f_{\min} \le f(x) \le f_{\max} \qquad \text{per ogni } x\in[a,b].$

Step 2 (integrating the inequalities). If we integrate functions ordered by an inequality, the integrals preserve the same inequality. Integrating from $a$ to $b$: $\int_a^b f_{\min}\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b f_{\max}\,dx.$ But $f_{\min}$ and $f_{\max}$ are constants, so: $f_{\min}\cdot(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le f_{\max}\cdot(b-a).$

Step 3 (division). Dividing everything by $(b-a) > 0$: $f_{\min} \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le f_{\max},$ that is $f_{\min} \le \bar f_{ab} \le f_{\max}$.

Step 4 (intermediate values). Let $x_{\min}$ and $x_{\max}$ be the points where $f$ attains the minimum and the maximum: $f_{\min} = f(x_{\min})$, $f_{\max} = f(x_{\max})$. On the interval $[x_{\min}, x_{\max}]$ (or $[x_{\max}, x_{\min}]$), by the intermediate value theorem, $f$ takes all the values between $f(x_{\min})$ and $f(x_{\max})$. But $\bar f_{ab}$ lies between these two values: hence there exists $c$ such that $f(c) = \bar f_{ab}$. $\blacksquare$

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Concepts: Intermediate value theorem · Integral mean value theorem · Weierstrass’s theorem
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People: Karl Weierstrass