Esercizi — Metodo di lavoro

I due problemi guida del capitolo, presentati come problemi completi da risolvere applicando le quattro mosse: prima provaci da solo, poi apri la soluzione, che ripercorre in forma condensata i passaggi di capire, cercare una strada, svolgere e rileggere.

• Rettangolo con perimetro e area assegnati
• La bisettrice del triangolo isoscele

The two guiding problems of the chapter, presented as complete problems to be solved by applying the four moves: first try on your own, then open the solution, which retraces in condensed form the steps of understanding, searching for a route, carrying out and reviewing.

• Rectangle with given perimeter and area
• The bisector of the isosceles triangle

Testo

Il perimetro di un rettangolo è $24$ cm e la sua area è $32$ cm². Quanto misurano i lati? Prova ad applicare le quattro mosse: capire, cercare una strada, svolgere, rileggere.

Soluzione

Capire. Dati: perimetro $2p=24$, area $A=32$. Incognite: base $x$ e altezza $y$. Il testo diventa il sistema $\begin{cases} 2x+2y = 24\\ x\,y = 32 \end{cases}$ (vedi capire il problema di algebra).

Cercare una strada. Due equazioni, due incognite: problema ben posto. Si può procedere per sostituzione, oppure con le formule di Viète (vedi cercare la strada).

Svolgere. Da $y=12-x$ sostituito nella seconda equazione: $x(12-x)=32 \;\Longrightarrow\; x^2-12x+32=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{12\pm 4}{2},$ cioè $x=8$ o $x=4$, con $y=4$ o $y=8$. I lati misurano $\boxed{4\ \text{cm}}$ e $\boxed{8\ \text{cm}}$.

Rileggere. Verifica: $2(4+8)=24$ ✓ e $4\cdot 8=32$ ✓. Estensione: con perimetro $24$, l’equazione $x^2-12x+A=0$ ha soluzioni reali solo se $A\le 36$; l’area massima è $36$, raggiunta dal quadrato di lato $6$ (vedi rileggere il problema).

Collegamenti

Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Dati e incognite · Risoluzione problemi
Competenze: Modellizzare · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione

Statement

The perimeter of a rectangle is $24$ cm and its area is $32$ cm². What is the length of its sides? Try to apply the four moves: understand, search for a route, carry out, review.

Solution

Understand. Data: perimeter $2p=24$, area $A=32$. Unknowns: base $x$ and height $y$. The statement becomes the system $\begin{cases} 2x+2y = 24\\ x\,y = 32 \end{cases}$ (see understanding an algebra problem).

Search for a route. Two equations, two unknowns: a well-posed problem. One may proceed by substitution, or with Vieta’s formulas (see searching for the route).

Carry out. Substituting $y=12-x$ into the second equation: $x(12-x)=32 \;\Longrightarrow\; x^2-12x+32=0 \;\Longrightarrow\; x=\frac{12\pm 4}{2},$ that is $x=8$ or $x=4$, with $y=4$ or $y=8$. The sides measure $\boxed{4\ \text{cm}}$ and $\boxed{8\ \text{cm}}$.

Review. Check: $2(4+8)=24$ ✓ and $4\cdot 8=32$ ✓. Extension: with perimeter $24$, the equation $x^2-12x+A=0$ has real solutions only if $A\le 36$; the greatest area is $36$, attained by the square with side $6$ (see reviewing the problem).

Links

Topics: Working method
Concepts: Data and unknowns · Problem solving
Skills: Modelling · Solving systems
Exercise type: Modelling problem

Testo

In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana. Dimostralo, seguendo le quattro mosse.

Soluzione

Capire. Triangolo $ABC$ con $AB\cong AC$; bisettrice $AM$ dell’angolo $\widehat{A}$, $M\in BC$. Tesi doppia: $AM\perp BC$ e $BM\cong MC$ (vedi capire il problema di geometria).

Cercare una strada. Ragionando all’indietro, basta dimostrare che i due triangoli $ABM$ e $ACM$ sono congruenti: da lì seguono entrambe le tesi (vedi cercare la strada).

Svolgere. Nei triangoli $ABM$ e $ACM$: $AB\cong AC$ (ipotesi), $\widehat{BAM}\cong\widehat{CAM}$ (bisettrice), $AM$ in comune. Per il I criterio (lato–angolo–lato) $\triangle ABM\cong\triangle ACM$. Ne segue $BM\cong CM$ (quindi $AM$ mediana) e $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$; essendo supplementari, valgono $\tfrac{\pi}{2}$ ciascuno (quindi $AM$ altezza). $\blacksquare$

Rileggere. L’ipotesi “isoscele” è essenziale: in un triangolo scaleno la bisettrice non cade, in generale, nel punto medio del lato opposto (vedi rileggere la dimostrazione).

Collegamenti

Argomenti: Metodo di lavoro
Concetti: Ragionamento all indietro · Risoluzione problemi
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione

Statement

In an isosceles triangle the bisector of the apex angle is also an altitude and a median. Prove it, following the four moves.

Solution

Understand. Triangle $ABC$ with $AB\cong AC$; bisector $AM$ of the angle $\widehat{A}$, $M\in BC$. Twofold thesis: $AM\perp BC$ and $BM\cong MC$ (see understanding a geometry problem).

Search for a route. Reasoning backwards, it is enough to prove that the two triangles $ABM$ and $ACM$ are congruent: from there both theses follow (see searching for the route).

Carry out. In triangles $ABM$ and $ACM$: $AB\cong AC$ (hypothesis), $\widehat{BAM}\cong\widehat{CAM}$ (bisector), $AM$ common. By the first criterion (side–angle–side) $\triangle ABM\cong\triangle ACM$. It follows that $BM\cong CM$ (so $AM$ is a median) and $\widehat{AMB}\cong\widehat{AMC}$; being supplementary, they each equal $\tfrac{\pi}{2}$ (so $AM$ is an altitude). $\blacksquare$

Review. The “isosceles” hypothesis is essential: in a scalene triangle the bisector does not, in general, fall on the midpoint of the opposite side (see reviewing the proof).

Links

Topics: Working method
Concepts: Backward reasoning · Problem solving
Skills: Proving · Synthetic geometry
Exercise type: Proof