Triangolo isoscele

Il triangolo isoscele ha una simmetria interna che lo rende molto speciale. Da questa simmetria discendono due proprietà classiche, entrambe dimostrabili con i criteri di congruenza: gli angoli alla base sono congruenti, e la bisettrice, la mediana e l’altezza relative alla base coincidono.

• Angoli alla base del triangolo isoscele
• Bisettrice, mediana e altezza

The isosceles triangle has an internal symmetry that makes it very special. From this symmetry follow two classical properties, both provable with the congruence criteria: the base angles are congruent, and the bisector, the median and the altitude relative to the base coincide.

• Base angles of the isosceles triangle
• Bisector, median and altitude

Un triangolo con due lati congruenti si dice isoscele. La sua proprietà più celebre — attribuita già a Talete — riguarda gli angoli opposti a quei due lati.

Teorema — Angoli alla base del triangolo isoscele

Se un triangolo ha due lati congruenti ($AC\cong BC$), allora gli angoli opposti a quei lati sono congruenti: $AC\cong BC \implies \widehat{CAB}\cong\widehat{CBA}$

Dimostrazione

La strategia consiste nel creare due coppie di triangoli congruenti, sfruttando prolungamenti simmetrici dei lati.

1. Costruzione. Si prolunga $CA$ oltre $A$ di un segmento $AD$; si prolunga $CB$ oltre $B$ di un segmento $BE\cong AD$. Si congiungono $D$ con $B$ ed $E$ con $A$.
2. Considero. I triangoli $CBD$ e $CAE$: $BC\cong AC$ (ipotesi), $DC = AC+AD \cong BC+BE = CE$ (somme di congruenti), $\widehat{C}$ in comune.
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle CBD\cong\triangle CAE$, dunque $BD\cong AE$ e $\widehat{CDB}\cong\widehat{CEA}$.
4. Considero. Passiamo ora ai triangoli $ABD$ e $BAE$: $AB$ in comune, $AD\cong BE$ (costruzione), $BD\cong AE$ (appena dimostrato).
5. Deduco. Per il III criterio: $\triangle ABD\cong\triangle BAE$, dunque $\widehat{BAD}\cong\widehat{ABE}$.
6. Verificato. Infine, $\widehat{CAB}$ e $\widehat{BAD}$ sono supplementari, così come $\widehat{CBA}$ e $\widehat{ABE}$. Essendo supplementari di angoli congruenti, si conclude $\widehat{CAB}\cong\widehat{CBA}$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Criteri congruenza · Dimostrazione · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

A triangle with two congruent sides is called isosceles. Its most celebrated property — already attributed to Thales — concerns the angles opposite those two sides.

Theorem — Base angles of the isosceles triangle

If a triangle has two congruent sides ($AC\cong BC$), then the angles opposite those sides are congruent: $AC\cong BC \implies \widehat{CAB}\cong\widehat{CBA}$

Proof

The strategy consists of creating two pairs of congruent triangles, exploiting symmetric extensions of the sides.

1. Construction. Extend $CA$ beyond $A$ by a segment $AD$; extend $CB$ beyond $B$ by a segment $BE\cong AD$. Join $D$ to $B$ and $E$ to $A$.
2. I consider. The triangles $CBD$ and $CAE$: $BC\cong AC$ (hypothesis), $DC = AC+AD \cong BC+BE = CE$ (sums of congruents), $\widehat{C}$ in common.
3. I deduce. By the first criterion: $\triangle CBD\cong\triangle CAE$, therefore $BD\cong AE$ and $\widehat{CDB}\cong\widehat{CEA}$.
4. I consider. Let us now move on to the triangles $ABD$ and $BAE$: $AB$ in common, $AD\cong BE$ (construction), $BD\cong AE$ (just proved).
5. I deduce. By the third criterion: $\triangle ABD\cong\triangle BAE$, therefore $\widehat{BAD}\cong\widehat{ABE}$.
6. Verified. Finally, $\widehat{CAB}$ and $\widehat{BAD}$ are supplementary, as are $\widehat{CBA}$ and $\widehat{ABE}$. Being supplementary to congruent angles, we conclude $\widehat{CAB}\cong\widehat{CBA}$.

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Links

Topics: Euclidean geometry
Concepts: Angle · Congruence criteria · Proof · Isosceles triangle
Skills: Proving · Synthetic geometry

La simmetria del triangolo isoscele fa sì che tre rette notevoli, che in un triangolo qualunque sono distinte, qui si sovrappongano in una sola.

Teorema — Bisettrice, mediana e altezza nel triangolo isoscele

In un triangolo isoscele $ABC$ con $AC\cong BC$, la bisettrice dell’angolo al vertice $\widehat{C}$ è anche mediana (passa per il punto medio di $AB$) e altezza (è perpendicolare ad $AB$).

Nel triangolo isoscele la bisettrice da $C$ è contemporaneamente mediana e altezza relative alla base $AB$.

Dimostrazione

Mostriamo che la bisettrice da $C$ cade nel punto medio di $AB$ ed è perpendicolare ad esso.

1. Costruzione. Sia $K$ il piede della bisettrice di $\widehat{C}$ su $AB$.
2. Considero. Nei triangoli $AKC$ e $BKC$ troviamo: $CK$ in comune, $\widehat{ACK}\cong\widehat{BCK}$ (bisettrice), $AC\cong BC$ (ipotesi).
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle AKC\cong\triangle BKC$.
4. Verificato. Dalla congruenza segue $AK\cong BK$: $K$ è il punto medio di $AB$, quindi $CK$ è mediana.
5. Deduco. Inoltre $\widehat{AKC}\cong\widehat{BKC}$. Poiché sono supplementari e congruenti, ciascuno vale $\dfrac{\pi}{2}$: $CK$ è altezza.

In sintesi, nel triangolo isoscele bisettrice, mediana e altezza dal vertice coincidono. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Altezza · Bisettrice · Criteri congruenza · Dimostrazione · Mediana · Retta · Triangolo isoscele
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

The symmetry of the isosceles triangle causes three notable lines, which in a generic triangle are distinct, to overlap here into a single one.

Theorem — Bisector, median and altitude in the isosceles triangle

In an isosceles triangle $ABC$ with $AC\cong BC$, the bisector of the apex angle $\widehat{C}$ is also the median (it passes through the midpoint of $AB$) and the altitude (it is perpendicular to $AB$).

In the isosceles triangle the bisector from $C$ is simultaneously the median and the altitude relative to the base $AB$.

Proof

We show that the bisector from $C$ falls at the midpoint of $AB$ and is perpendicular to it.

1. Construction. Let $K$ be the foot of the bisector of $\widehat{C}$ on $AB$.
2. I consider. In the triangles $AKC$ and $BKC$ we find: $CK$ in common, $\widehat{ACK}\cong\widehat{BCK}$ (bisector), $AC\cong BC$ (hypothesis).
3. I deduce. By the first criterion: $\triangle AKC\cong\triangle BKC$.
4. Verified. From the congruence it follows that $AK\cong BK$: $K$ is the midpoint of $AB$, hence $CK$ is the median.
5. I deduce. Moreover $\widehat{AKC}\cong\widehat{BKC}$. Since they are supplementary and congruent, each equals $\dfrac{\pi}{2}$: $CK$ is the altitude.

In short, in the isosceles triangle the bisector, median and altitude from the apex coincide. $\blacksquare$

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Altitude · Bisector · Congruence criteria · Proof · Median · Line · Isosceles triangle
Skills: Proving · Synthetic geometry