Successioni monotone

Le nozioni di monotonia (crescente o decrescente) e di limitatezza permettono di enunciare uno dei risultati chiave dell’analisi elementare: ogni successione monotona e limitata converge. Più in generale, una successione monotona ha sempre limite, finito o infinito.

• Successioni monotone e limitate
• Teorema delle successioni monotone limitate

The notions of monotonicity (increasing or decreasing) and of boundedness allow one of the key results of elementary analysis to be stated: every monotone and bounded sequence converges. More generally, a monotone sequence always has a limit, finite or infinite.

• Monotone and bounded sequences
• Theorem of bounded monotone sequences

Due proprietà qualitative descrivono l’andamento di una successione senza calcolarne il limite: la monotonia e la limitatezza.

Definizione — Monotonia e limitatezza

$(a_n)$ è crescente se $a_{n+1}\ge a_n$ per ogni $n$ (strettamente crescente se $>$). È decrescente se $a_{n+1}\le a_n$. È monotona se è crescente oppure decrescente. È limitata se esistono $m, M\in\mathbb{R}$ con $m\le a_n\le M$ per ogni $n$.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Monotonia · Successione limitata

Two qualitative properties describe the behaviour of a sequence without computing its limit: monotonicity and boundedness.

Definition — Monotonicity and boundedness

$(a_n)$ is increasing if $a_{n+1}\ge a_n$ for every $n$ (strictly increasing if $>$). It is decreasing if $a_{n+1}\le a_n$. It is monotone if it is increasing or decreasing. It is bounded if there exist $m, M\in\mathbb{R}$ with $m\le a_n\le M$ for every $n$.

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Topics: Sequences
Concepts: Monotonicity · Bounded sequence

Il legame tra monotonia, limitatezza ed esistenza del limite è espresso da un teorema fondamentale, che garantisce la convergenza senza dover calcolare il limite.

Teorema — Successioni monotone limitate

Una successione monotona e limitata ammette sempre limite finito. Più precisamente:

• $(a_n)$ crescente e limitata superiormente $\Rightarrow$ $a_n\to\sup_n a_n$ (un numero finito).
• $(a_n)$ decrescente e limitata inferiormente $\Rightarrow$ $a_n\to\inf_n a_n$.

Osservazione — Una successione monotona ha sempre limite

Una successione monotona ha sempre limite (finito o infinito): se cresce ed è limitata superiormente $\to$ limite finito; se cresce e non è limitata superiormente $\to +\infty$. Il comportamento è speculare per quelle decrescenti.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Monotonia · Successione limitata
Metodi: Successione monotonia teorema
Competenze: Dimostrare

The link between monotonicity, boundedness and the existence of the limit is expressed by a fundamental theorem, which guarantees convergence without having to compute the limit.

Theorem — Bounded monotone sequences

A monotone and bounded sequence always admits a finite limit. More precisely:

• $(a_n)$ increasing and bounded above $\Rightarrow$ $a_n\to\sup_n a_n$ (a finite number).
• $(a_n)$ decreasing and bounded below $\Rightarrow$ $a_n\to\inf_n a_n$.

Observation — A monotone sequence always has a limit

A monotone sequence always has a limit (finite or infinite): if it increases and is bounded above $\to$ finite limit; if it increases and is not bounded above $\to +\infty$. The behaviour is mirror-image for decreasing ones.

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Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Monotonicity · Bounded sequence
Methods: Monotone sequence theorem
Skills: Prove