Intersezione di due circonferenze e asse radicale

Mettere a sistema due circonferenze sembra difficile, perché entrambe le equazioni sono di secondo grado. C’è però un trucco elegante: sottraendo le due equazioni si ottiene una retta, l’asse radicale, che contiene tutti i punti comuni. Così il problema si riduce a intersecare una retta con una circonferenza. La sezione introduce l’asse radicale, ne dimostra la proprietà, descrive la procedura e la applica a un esempio.

• L’asse radicale
• Come intersecare due circonferenze
• Esempio — intersezione di due circonferenze

Setting up a system of two circles looks hard, because both equations are second-degree. There is, however, an elegant trick: subtracting the two equations gives a line, the radical axis, which contains all the common points. In this way the problem reduces to intersecting a line with a circle. The section introduces the radical axis, proves its property, describes the procedure and applies it to an example.

• The radical axis
• How to intersect two circles
• Example — intersection of two circles

Intersecare due circonferenze con un sistema sembra ingestibile (due equazioni di secondo grado), ma c’è un trucco molto bello che funziona solo tra circonferenze.

Proprietà — Asse radicale

Siano $\gamma_1: x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $\gamma_2: x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ due circonferenze distinte. Sottraendo membro a membro le loro equazioni si ottiene $(a_1 - a_2)\,x + (b_1 - b_2)\,y + (c_1 - c_2) = 0,$ che è l’equazione di una retta, detta asse radicale delle due circonferenze. Questa retta ha una proprietà fondamentale: contiene tutti i punti di intersezione di $\gamma_1$ e $\gamma_2$.

Dimostrazione

Se $P(x_0;y_0)$ appartiene a entrambe le circonferenze, allora entrambe le equazioni sono soddisfatte. La loro differenza (che è ancora vera) dà esattamente l’equazione dell’asse radicale valutata in $P$. Quindi ogni intersezione di $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sta sull’asse radicale. ∎

La sottrazione elimina i termini $x^2$ e $y^2$ (identici nelle due equazioni), lasciando un’equazione di primo grado: ecco perché il risultato è una retta.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Equazione circonferenza · Intersezione circonferenze
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica

Intersecting two circles with a system looks unmanageable (two second-degree equations), but there is a very neat trick that works only between circles.

Property — Radical axis

Let $\gamma_1: x^2 + y^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ and $\gamma_2: x^2 + y^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ be two distinct circles. Subtracting their equations term by term gives $(a_1 - a_2)\,x + (b_1 - b_2)\,y + (c_1 - c_2) = 0,$ which is the equation of a line, called the radical axis of the two circles. This line has a fundamental property: it contains all the intersection points of $\gamma_1$ and $\gamma_2$.

Proof

If $P(x_0;y_0)$ belongs to both circles, then both equations are satisfied. Their difference (which is still true) gives exactly the equation of the radical axis evaluated at $P$. Hence every intersection of $\gamma_1$ and $\gamma_2$ lies on the radical axis. ∎

The subtraction eliminates the $x^2$ and $y^2$ terms (identical in the two equations), leaving a first-degree equation: that is why the result is a line.

Links

Topics: Circonferenza analitica
Concepts: Asse radicale · Equazione circonferenza · Intersezione circonferenze
Skills: Dimostrare · Geometria analitica

L’asse radicale trasforma un problema apparentemente complicato in uno già noto.

Osservazione — La procedura

Per trovare i punti di intersezione di due circonferenze basta quindi:

1. sottrarre le loro equazioni per ottenere l’asse radicale, che è una retta;
2. mettere a sistema questa retta con una delle due circonferenze;
3. risolvere il sistema (una equazione di primo grado, l’altra di secondo, quindi facile).

Questo metodo trasforma un problema di intersezione circonferenza-circonferenza in un problema di intersezione retta-circonferenza.

Conviene scegliere, al punto 2, la circonferenza con l’equazione più semplice per ridurre i calcoli.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Intersezione circonferenze · Intersezione retta circonferenza
Metodi: Circonferenza intersezione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi

The radical axis turns an apparently complicated problem into one that is already known.

Observation — The procedure

To find the intersection points of two circles it is therefore enough to:

1. subtract their equations to obtain the radical axis, which is a line;
2. set up the system of this line with one of the two circles;
3. solve the system (one first-degree equation, the other second-degree, hence easy).

This method turns a circle-circle intersection problem into a line-circle intersection problem.

At step 2, it is convenient to choose the circle with the simpler equation to reduce the calculations.

Links

Topics: Circonferenza analitica
Concepts: Asse radicale · Intersezione circonferenze · Intersezione retta circonferenza
Methods: Circonferenza intersezione
Skills: Geometria analitica · Risolvere sistemi

Esempio

Intersecare $\gamma: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ e $\gamma': x^2 + y^2 - 4x = 0$.

Asse radicale: $(-2 - (-4))x + (-4 - 0)y + (4 - 0) = 0 \iff 2x - 4y + 4 = 0 \iff x - 2y + 2 = 0$.

Sistema retta-circonferenza (scegliamo $\gamma'$, più semplice): $\begin{cases} x = 2y - 2 \\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \end{cases}$ Sostituendo: $(2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) = 0 \iff 5y^2 - 16y + 12 = 0$.

$\Delta = 256 - 240 = 16$, quindi $y = \dfrac{16\pm 4}{10}$: $y_1 = 2$, $y_2 = \tfrac{6}{5}$.

Punti: $\boxed{G_1(2;2) \ \text{e}\ G_2\!\left(\tfrac{2}{5};\tfrac{6}{5}\right).}$

Ottenuti i valori di $y$ dall’equazione di secondo grado, le ascisse si ricavano dall’equazione dell’asse radicale $x = 2y - 2$.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Intersezione circonferenze · Intersezione retta circonferenza
Metodi: Circonferenza intersezione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi

Example

Intersect $\gamma: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ and $\gamma': x^2 + y^2 - 4x = 0$.

Radical axis: $(-2 - (-4))x + (-4 - 0)y + (4 - 0) = 0 \iff 2x - 4y + 4 = 0 \iff x - 2y + 2 = 0$.

Line-circle system (we choose $\gamma'$, which is simpler): $\begin{cases} x = 2y - 2 \\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \end{cases}$ Substituting: $(2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) = 0 \iff 5y^2 - 16y + 12 = 0$.

$\Delta = 256 - 240 = 16$, hence $y = \dfrac{16\pm 4}{10}$: $y_1 = 2$, $y_2 = \tfrac{6}{5}$.

Points: $\boxed{G_1(2;2) \ \text{e}\ G_2\!\left(\tfrac{2}{5};\tfrac{6}{5}\right).}$

Once the values of $y$ are obtained from the second-degree equation, the abscissae are recovered from the equation of the radical axis $x = 2y - 2$.

Links

Topics: Circonferenza analitica
Concepts: Asse radicale · Intersezione circonferenze · Intersezione retta circonferenza
Methods: Circonferenza intersezione
Skills: Geometria analitica · Risolvere sistemi