Teorema fondamentale del calcolo integrale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale è il punto d’arrivo del capitolo: lega derivazione e integrazione, mostrando che la funzione integrale è una primitiva dell’integranda. Da qui la formula che permette di calcolare gli integrali definiti tramite una primitiva. La dimostrazione si appoggia sul teorema della media integrale, chiudendo la catena logica dei teoremi.

• Il teorema fondamentale del calcolo integrale
• Dimostrazione del teorema fondamentale
• La catena dei teoremi

The fundamental theorem of integral calculus is the culmination of the chapter: it ties differentiation and integration together, showing that the integral function is an antiderivative of the integrand. From this comes the formula that lets us compute definite integrals via an antiderivative. The proof rests on the integral mean value theorem, closing the logical chain of theorems.

• The fundamental theorem of integral calculus
• Proof of the fundamental theorem
• The chain of theorems

Il teorema fondamentale collega le due operazioni centrali dell’analisi, la derivazione e l’integrazione, attraverso la funzione integrale.

Teorema — Teorema fondamentale del calcolo integrale

Se $f$ è continua su $[a,b]$, la funzione integrale $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ è derivabile e la sua derivata è $F'(x) = f(x)$.

Conseguenza: $F$ è una primitiva di $f$, e quindi $\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)},$ dove $F$ è una qualunque primitiva di $f$.

Video consigliati

• Integration and the fundamental theorem of calculus — 3Blue1Brown

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Funzione integrale · Primitiva · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Integrare

The fundamental theorem connects the two central operations of analysis, differentiation and integration, through the integral function.

Theorem — Fundamental theorem of integral calculus

If $f$ is continuous on $[a,b]$, the integral function $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ is differentiable and its derivative is $F'(x) = f(x)$.

Consequence: $F$ is an antiderivative of $f$, and therefore $\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)},$ where $F$ is any antiderivative of $f$.

Recommended videos

• Integration and the fundamental theorem of calculus — 3Blue1Brown

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Integral function · Antiderivative · Fundamental theorem of calculus
Skills: Integrating

La dimostrazione parte dal rapporto incrementale della funzione integrale e usa il teorema della media integrale per riconoscere, al limite, il valore $f(x)$.

Dimostrazione

Calcoliamo il rapporto incrementale di $F$: $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h}f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt\right] = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$

Ora $\dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ è esattamente la media integrale di $f$ sull’intervallo $[x, x+h]$. Per il teorema della media integrale (appena dimostrato), esiste un punto $c_h\in[x, x+h]$ tale che: $\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt = f(c_h).$

Quando $h\to 0$, l’intervallo $[x, x+h]$ si “schiaccia” e $c_h\to x$. Poiché $f$ è continua, $f(c_h)\to f(x)$. Dunque: $F'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h\to 0}f(c_h) = f(x). \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Funzione integrale · Teorema della media integrale · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Dimostrare · Integrare

The proof starts from the difference quotient of the integral function and uses the integral mean value theorem to recognise, in the limit, the value $f(x)$.

Proof

We compute the difference quotient of $F$: $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h}f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt\right] = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$

Now $\dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ is exactly the integral mean of $f$ over the interval $[x, x+h]$. By the integral mean value theorem (just proved), there exists a point $c_h\in[x, x+h]$ such that: $\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt = f(c_h).$

When $h\to 0$, the interval $[x, x+h]$ “collapses” and $c_h\to x$. Since $f$ is continuous, $f(c_h)\to f(x)$. Hence: $F'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h\to 0}f(c_h) = f(x). \qquad \blacksquare$

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Integral function · Integral mean value theorem · Fundamental theorem of calculus
Skills: Proving · Integrating

Osservazione — Catena delle dipendenze logiche

I teoremi di questo capitolo formano una catena: ogni risultato “sta in piedi” grazie a quelli che lo precedono.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale poggia sulla media integrale, che a sua volta usa Weierstrass e il teorema dei valori intermedi.

Il TFI “sta in piedi” perché la media integrale “sta in piedi”, che a sua volta usa Weierstrass e i valori intermedi.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Teorema dei valori intermedi · Teorema della media integrale · Teorema di weierstrass · Teorema fondamentale del calcolo

Remark — Chain of logical dependencies

The theorems of this chapter form a chain: each result “stands up” thanks to those that precede it.

The fundamental theorem of integral calculus rests on the integral mean value theorem, which in turn uses Weierstrass and the intermediate value theorem.

The FTIC “stands up” because the integral mean value theorem “stands up”, which in turn uses Weierstrass and the intermediate value theorem.

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Intermediate value theorem · Integral mean value theorem · Weierstrass’s theorem · Fundamental theorem of calculus

Che derivazione e integrazione fossero operazioni inverse è la grande scoperta che, nella seconda metà del Seicento, trasformò una collezione di tecniche per aree e tangenti nel calcolo infinitesimale. Prima di allora il problema delle aree (la quadratura) e quello delle tangenti venivano affrontati con metodi separati; il legame fra i due fu intravisto per primo in forma geometrica da Isaac Barrow, maestro di Newton a Cambridge, nelle sue Lectiones geometricae (1670): in un teorema oggi riconosciuto come una versione geometrica del teorema fondamentale, Barrow mostrò che la tangente alla curva delle aree ha pendenza pari all’ordinata della curva di partenza.

Fu però Isaac Newton, negli anni 1665–1666, a rendere il risultato uno strumento di calcolo: nel suo metodo delle flussioni la quantità che scorre nel tempo e la sua velocità di variazione sono legate esattamente dall’inversione fra il calcolo delle aree e quello delle “flussioni”. Indipendentemente, negli anni 1670, Gottfried Wilhelm Leibniz giunse allo stesso nucleo con una notazione destinata a durare: i simboli $\int$ (una S allungata per summa) e $dx$ rendono visibile che

$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x),$

cioè che sommare quantità infinitesime e poi derivare riporta alla funzione di partenza (Boyer). La priorità della scoperta scatenò una celebre e aspra controversia fra i sostenitori di Newton e quelli di Leibniz, durata decenni; oggi si riconosce che i due giunsero al calcolo in modo indipendente, e la notazione di Leibniz — con $F(b)-F(a)$ per l’integrale definito — è quella che ancora usiamo (Katz). Solo molto più tardi, nell’Ottocento, Cauchy e Riemann avrebbero dato all’integrale la definizione rigorosa che rende il teorema un vero teorema anziché un principio operativo (Stillwell).

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Primitiva · Teorema fondamentale del calcolo
Persone: Isaac Barrow · Gottfried Leibniz · Isaac Newton

That differentiation and integration are inverse operations is the great discovery that, in the second half of the seventeenth century, turned a collection of techniques for areas and tangents into the infinitesimal calculus. Before then the problem of areas (the quadrature) and that of tangents were tackled by separate methods; the link between the two was first glimpsed in geometric form by Isaac Barrow, Newton’s teacher at Cambridge, in his Lectiones geometricae (1670): in a theorem now recognised as a geometric version of the fundamental theorem, Barrow showed that the tangent to the area curve has slope equal to the ordinate of the original curve.

It was Isaac Newton, however, in 1665–1666, who turned the result into a computational tool: in his method of fluxions the quantity that flows in time and its rate of change are linked precisely by the inversion between the calculus of areas and that of “fluxions”. Independently, in the 1670s, Gottfried Wilhelm Leibniz reached the same core with a notation destined to endure: the symbols $\int$ (an elongated S for summa) and $dx$ make it visible that

$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x),$

that is, that summing infinitesimal quantities and then differentiating returns the original function (Boyer). The priority of the discovery sparked a famous and bitter controversy between Newton’s supporters and Leibniz’s, lasting decades; today it is agreed that the two reached the calculus independently, and Leibniz’s notation — with $F(b)-F(a)$ for the definite integral — is the one we still use (Katz). Only much later, in the nineteenth century, did Cauchy and Riemann give the integral the rigorous definition that makes the theorem a genuine theorem rather than an operational principle (Stillwell).

Links

Topics: Calculus theorems
Concepts: Fundamental theorem of calculus · Antiderivative
People: Isaac Barrow · Isaac Newton · Gottfried Leibniz