Teoremi sulle funzioni continue

Sugli intervalli chiusi e limitati la continuità garantisce proprietà globali molto forti: l’esistenza di massimo e minimo assoluti (Weierstrass), il passaggio per tutti i valori intermedi e, come caso particolare, l’esistenza di uno zero quando la funzione cambia segno.

• Teorema di Weierstrass
• Teorema dei valori intermedi
• Teorema degli zeri

On closed and bounded intervals, continuity guarantees very strong global properties: the existence of an absolute maximum and minimum (Weierstrass), the passage through all the intermediate values and, as a particular case, the existence of a zero when the function changes sign.

• Weierstrass’s theorem
• The intermediate value theorem
• The zero theorem

La continuità su un intervallo chiuso e limitato ha una conseguenza forte: la funzione raggiunge sicuramente il suo valore più grande e il suo valore più piccolo.

Teorema — Teorema di Weierstrass

Se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, allora $f$ ammette massimo assoluto e minimo assoluto in $[a,b]$: esistono $x_M, x_m\in[a,b]$ con $f(x_m)\le f(x)\le f(x_M) \qquad \text{per ogni } x\in[a,b].$

Osservazione — Le ipotesi sono tutte necessarie

$f$ deve essere continua (altrimenti può fare “salti” senza raggiungere il massimo) e l’intervallo deve essere chiuso e limitato (altrimenti $f$ può divergere verso l’estremo non raggiunto). Se anche una sola ipotesi cade, la tesi può venire meno.

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Persone: Karl Weierstrass

Continuity on a closed and bounded interval has a strong consequence: the function certainly attains its greatest value and its smallest value.

Theorem — Weierstrass's theorem

If $f$ is continuous on a closed and bounded interval $[a,b]$, then $f$ admits an absolute maximum and an absolute minimum in $[a,b]$: there exist $x_M, x_m\in[a,b]$ with $f(x_m)\le f(x)\le f(x_M) \qquad \text{for every } x\in[a,b].$

Remark — The hypotheses are all necessary

$f$ must be continuous (otherwise it may make “jumps” without attaining the maximum) and the interval must be closed and bounded (otherwise $f$ may diverge towards the endpoint that is not attained). If even a single hypothesis falls away, the conclusion may fail.

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Una funzione continua non può passare da un valore a un altro “saltando” i valori intermedi: li deve assumere tutti.

Teorema — Teorema dei valori intermedi

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e $k$ è un valore compreso tra $f(a)$ e $f(b)$, allora esiste almeno un $c\in(a,b)$ tale che $f(c)=k.$

Osservazione — Significato

“Una funzione continua non può saltare da un valore a un altro senza passare per tutti i valori intermedi.” È l’analogo matematico del fatto fisico che un oggetto in moto non può teletrasportarsi: per andare da una quota all’altra deve attraversare tutte le quote comprese.

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A continuous function cannot pass from one value to another by “skipping” the intermediate values: it must take them all.

Theorem — The intermediate value theorem

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and $k$ is a value lying between $f(a)$ and $f(b)$, then there exists at least one $c\in(a,b)$ such that $f(c)=k.$

Remark — Meaning

“A continuous function cannot jump from one value to another without passing through all the intermediate values.” It is the mathematical analogue of the physical fact that a moving object cannot teleport: to go from one height to another it must cross all the heights in between.

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Un caso particolare del teorema dei valori intermedi è tra i più utili in pratica: se una funzione continua cambia segno, deve annullarsi da qualche parte.

Teorema — Teorema degli zeri

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e $f(a)\cdot f(b) < 0$ (cioè $f(a)$ e $f(b)$ hanno segni opposti), allora esiste almeno un $c\in(a,b)$ con $f(c)=0.$

Il teorema degli zeri (dovuto a Bolzano) è il fondamento dei metodi numerici per risolvere le equazioni: garantisce che una soluzione esiste in un dato intervallo, aprendo la strada agli algoritmi che la localizzano per approssimazioni successive. Non dice però dove si trovi lo zero: solo che c’è.

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A particular case of the intermediate value theorem is among the most useful in practice: if a continuous function changes sign, it must vanish somewhere.

Theorem — The zero theorem

If $f$ is continuous on $[a,b]$ and $f(a)\cdot f(b) < 0$ (that is, $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs), then there exists at least one $c\in(a,b)$ with $f(c)=0.$

The zero theorem (due to Bolzano) is the foundation of the numerical methods for solving equations: it guarantees that a solution exists in a given interval, opening the way to the algorithms that locate it by successive approximations. It does not say, however, where the zero lies: only that there is one.

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Fino alla metà dell’Ottocento quasi tutti i matematici davano per scontato che una funzione continua dovesse essere derivabile «quasi ovunque»: al più poteva avere qualche spigolo isolato, come $f(x)=|x|$ nell’origine. L’intuizione geometrica — un grafico che si traccia senza staccare la penna sembra avere una tangente in ogni punto — pareva confermarlo.

Nel 1872 Karl Weierstrass presentò all’Accademia di Berlino un controesempio clamoroso: una funzione continua in ogni punto della retta reale ma derivabile in nessun punto. La sua costruzione è una serie di funzioni: $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x),$ dove $0 < a < 1$ e $b$ è un intero dispari scelto in modo che $ab > 1 + \tfrac{3}{2}\pi$. La condizione $a<1$ rende la serie totalmente convergente, quindi $W$ è continua; ma il fattore $b^n$, crescendo senza limite, introduce oscillazioni sempre più fitte a ogni scala, così che il rapporto incrementale non converge mai a un valore finito. Il grafico è autosimile: ingrandendo un qualsiasi tratto si ritrova la stessa irregolarità frastagliata, un tratto anticipatore dei frattali.

Il risultato ebbe l’effetto di un terremoto. Mostrava che l’intuizione visiva non era una guida affidabile e che l’analisi doveva fondarsi soltanto su definizioni rigorose, come quelle basate su $\varepsilon$ e $\delta$. Si scoprì poi che già intorno al 1830 Bernhard Bolzano aveva costruito un esempio simile, rimasto però inedito per decenni (Boyer, Katz).

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Until the middle of the nineteenth century almost every mathematician took for granted that a continuous function had to be differentiable “almost everywhere”: at most it could have a few isolated corners, like $f(x)=|x|$ at the origin. Geometric intuition — a graph drawn without lifting the pen seems to have a tangent at every point — appeared to confirm this.

In 1872 Karl Weierstrass presented to the Berlin Academy a startling counterexample: a function continuous at every point of the real line but differentiable at no point. His construction is a series of functions: $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x),$ where $0 < a < 1$ and $b$ is an odd integer chosen so that $ab > 1 + \tfrac{3}{2}\pi$. The condition $a<1$ makes the series totally convergent, so $W$ is continuous; but the factor $b^n$, growing without bound, introduces ever finer oscillations at every scale, so that the difference quotient never converges to a finite value. The graph is self-similar: magnifying any portion reveals the same jagged irregularity, foreshadowing fractals.

The result had the effect of an earthquake. It showed that visual intuition was not a reliable guide and that analysis had to rest solely on rigorous definitions, such as those based on $\varepsilon$ and $\delta$. It was later discovered that already around 1830 Bernhard Bolzano had constructed a similar example, which nevertheless remained unpublished for decades (Boyer, Katz).

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