Angoli al centro e alla circonferenza

Uno dei risultati più eleganti della geometria del cerchio: un angolo alla circonferenza è sempre la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco. Qui enunciamo il teorema, lo dimostriamo e ne ricaviamo un caso particolare notevole — l’angolo inscritto in una semicirconferenza.

• Angolo al centro e angolo alla circonferenza
• Dimostrazione dell’angolo al centro
• Angolo inscritto in una semicirconferenza

One of the most elegant results in the geometry of the circle: an inscribed angle is always half of the central angle subtending the same arc. Here we state the theorem, prove it and derive a notable special case from it — the angle inscribed in a semicircle.

• Central angle and inscribed angle
• Proof of the central angle theorem
• Angle inscribed in a semicircle

Fissato un arco $AB$, possiamo osservarlo da due punti di vista: dal centro $O$ della circonferenza, oppure da un punto $P$ della circonferenza stessa. Il legame tra i due angoli è sorprendentemente semplice.

Teorema — Angolo al centro e alla circonferenza

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti, e ciascuno è la metà dell’angolo al centro corrispondente: $\alpha_{\text{circ}} = \frac{\alpha_{\text{centro}}}{2} = \frac{\text{arco}}{2\cdot\text{raggio}} \quad\text{(in radianti)}$

Nella figura, l’angolo al centro $\widehat{AOB}$ vale $2\alpha$, mentre gli angoli alla circonferenza $\widehat{APB}$ e $\widehat{AQB}$, che insistono sullo stesso arco $AB$, valgono entrambi $\alpha$.

L’angolo al centro $\widehat{AOB}=2\alpha$ è il doppio di ogni angolo alla circonferenza $\widehat{APB}=\widehat{AQB}=\alpha$ che insiste sullo stesso arco.

Nella simulazione seguente puoi verificare il teorema in prima persona: trascina i punti $A$, $B$ e $P$ lungo la circonferenza e osserva che l’angolo al centro resta sempre il doppio dell’angolo alla circonferenza.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Angolo alla circonferenza · Arco
Competenze: Geometria sintetica

Given an arc $AB$, we can observe it from two points of view: from the centre $O$ of the circle, or from a point $P$ on the circle itself. The link between the two angles is surprisingly simple.

Theorem — Central angle and inscribed angle

All the inscribed angles subtending the same arc are congruent to one another, and each is half of the corresponding central angle: $\alpha_{\text{circ}} = \frac{\alpha_{\text{centro}}}{2} = \frac{\text{arco}}{2\cdot\text{raggio}} \quad\text{(in radianti)}$

In the figure, the central angle $\widehat{AOB}$ is $2\alpha$, while the inscribed angles $\widehat{APB}$ and $\widehat{AQB}$, which subtend the same arc $AB$, are both equal to $\alpha$.

The central angle $\widehat{AOB}=2\alpha$ is twice each inscribed angle $\widehat{APB}=\widehat{AQB}=\alpha$ that subtends the same arc.

In the following simulation you can check the theorem yourself: drag the points $A$, $B$ and $P$ along the circle and observe that the central angle always stays twice the inscribed angle.

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Topics: Euclidean circle
Concepts: Central angle · Inscribed angle · Arc
Skills: Synthetic geometry

Dimostriamo che l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. L’idea chiave è tracciare il diametro dal vertice dell’angolo inscritto e sfruttare i triangoli isosceli che si formano con i raggi.

Il diametro $CD$ divide l’angolo inscritto $\widehat{ACB}$ e crea due triangoli isosceli $COA$ e $COB$.

Dimostrazione — Angolo al centro

1. Tracciamo il diametro $CD$ passante per $C$ e per il centro $O$. Il diametro divide l’angolo inscritto $\widehat{ACB}$ in due parti.
2. I triangoli $COA$ e $COB$ sono isosceli perché $CO\cong OA\cong OB$ (raggi).
3. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti: $\widehat{OCA}\cong\widehat{OAC}, \qquad \widehat{OCB}\cong\widehat{OBC}.$
4. Consideriamo ora $\widehat{DOA}$: è angolo esterno del triangolo $COA$, dunque: $\widehat{DOA} = \widehat{OCA}+\widehat{OAC} = 2\,\widehat{OCA}.$
5. Analogamente: $\widehat{DOB} = 2\,\widehat{OCB}$.
6. Sommando le due relazioni: $\widehat{AOB} = \widehat{DOA}+\widehat{DOB} = 2(\widehat{OCA}+\widehat{OCB}) = 2\,\widehat{ACB}.$

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Angolo alla circonferenza
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

We prove that the central angle is twice the inscribed angle subtending the same arc. The key idea is to draw the diameter from the vertex of the inscribed angle and to exploit the isosceles triangles that form with the radii.

The diameter $CD$ divides the inscribed angle $\widehat{ACB}$ and creates two isosceles triangles $COA$ and $COB$.

Proof — Central angle

1. We draw the diameter $CD$ through $C$ and the centre $O$. The diameter divides the inscribed angle $\widehat{ACB}$ into two parts.
2. The triangles $COA$ and $COB$ are isosceles because $CO\cong OA\cong OB$ (radii).
3. In an isosceles triangle the base angles are congruent: $\widehat{OCA}\cong\widehat{OAC}, \qquad \widehat{OCB}\cong\widehat{OBC}.$
4. Now consider $\widehat{DOA}$: it is the exterior angle of triangle $COA$, hence: $\widehat{DOA} = \widehat{OCA}+\widehat{OAC} = 2\,\widehat{OCA}.$
5. Similarly: $\widehat{DOB} = 2\,\widehat{OCB}$.
6. Adding the two relations: $\widehat{AOB} = \widehat{DOA}+\widehat{DOB} = 2(\widehat{OCA}+\widehat{OCB}) = 2\,\widehat{ACB}.$

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Topics: Euclidean circle
Concepts: Central angle · Inscribed angle
Skills: Proving · Synthetic geometry

Applicando il teorema dell’angolo al centro a un caso particolare si ottiene un risultato classico, spesso chiamato teorema di Talete sulla circonferenza.

Osservazione — Caso particolare: semicirconferenza

Se l’arco $AB$ è una semicirconferenza, l’angolo al centro vale $\pi$, dunque l’angolo alla circonferenza vale $\frac{\pi}{2}$: ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.

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Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo alla circonferenza · Semicirconferenza
Competenze: Geometria sintetica

Applying the central angle theorem to a particular case yields a classic result, often called Thales’ theorem on the circle.

Observation — Special case: the semicircle

If the arc $AB$ is a semicircle, the central angle is $\pi$, hence the inscribed angle is $\frac{\pi}{2}$: every angle inscribed in a semicircle is a right angle.

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Topics: Euclidean circle
Concepts: Inscribed angle · Semicircle
Skills: Synthetic geometry