Definizione di seno, coseno, tangente

Grazie alla circonferenza goniometrica possiamo definire seno, coseno e tangente per un angolo qualunque, non più solo per gli angoli acuti di un triangolo rettangolo. Il coseno è l’ascissa del punto corrispondente all’angolo, il seno è la sua ordinata, la tangente il loro rapporto. Da questa definizione discendono l’identità fondamentale e le proprietà di dominio, immagine e segno.

• Seno, coseno e tangente di un angolo qualunque
• L’identità fondamentale
• Dominio, immagine e segno

Thanks to the unit circle we can define sine, cosine and tangent for an arbitrary angle, no longer only for the acute angles of a right triangle. The cosine is the abscissa of the point corresponding to the angle, the sine is its ordinate, the tangent their ratio. From this definition follow the fundamental identity and the properties of domain, range and sign.

• Sine, cosine and tangent of an arbitrary angle
• The fundamental identity
• Domain, range and sign

La circonferenza goniometrica permette di estendere le definizioni di seno, coseno e tangente, note in Seconda solo per gli angoli acuti, a un angolo reale qualunque.

Definizione — Seno, coseno e tangente

Dato un numero reale $\alpha$ e il punto $P_\alpha$ sulla circonferenza goniometrica corrispondente:

• il coseno di $\alpha$ è l’ascissa di $P_\alpha$: $\ \cos\alpha = x_{P_\alpha}$.
• il seno di $\alpha$ è l’ordinata di $P_\alpha$: $\ \sin\alpha = y_{P_\alpha}$.
• la tangente di $\alpha$, quando $\cos\alpha\ne 0$, è il rapporto $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Da questa definizione seguono immediatamente alcune proprietà fondamentali.

Storia — Dalle corde al seno

Gli astronomi greci non usavano il seno, ma la corda dell’arco: Ipparco di Nicea (II secolo a.C.) compilò la prima tavola di corde e Claudio Tolomeo, nell’Almagesto, la perfezionò con una celebre tabella a passi di mezzo grado (Boyer). La corda di un angolo $\alpha$ equivale al doppio del seno della metà, $\operatorname{crd}\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}$, così le nostre funzioni goniometriche affondano le radici nell’astronomia antica (Katz).

Nella simulazione seguente puoi trascinare il punto $P$ lungo la circonferenza goniometrica e osservare come cambiano seno, coseno e tangente dell’angolo $\alpha$.

Video consigliati

• Beautiful Trigonometry — Numberphile
• Trigonometry fundamentals (Lockdown math ep. 2) — 3Blue1Brown

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Circonferenza goniometrica · Coseno · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Persone: Claudio Tolomeo · Ipparco di Nicea

The unit circle allows the definitions of sine, cosine and tangent, known in Year Two only for acute angles, to be extended to an arbitrary real angle.

Definition — Sine, cosine and tangent

Given a real number $\alpha$ and the corresponding point $P_\alpha$ on the unit circle:

• the cosine of $\alpha$ is the abscissa of $P_\alpha$: $\ \cos\alpha = x_{P_\alpha}$.
• the sine of $\alpha$ is the ordinate of $P_\alpha$: $\ \sin\alpha = y_{P_\alpha}$.
• the tangent of $\alpha$, when $\cos\alpha\ne 0$, is the ratio $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

From this definition some fundamental properties follow immediately.

History — From chords to the sine

Greek astronomers did not use the sine, but the chord of an arc: Hipparchus of Nicaea (2nd century BC) compiled the first table of chords, and Claudius Ptolemy, in the Almagest, perfected it with a celebrated table in steps of half a degree (Boyer). The chord of an angle $\alpha$ equals twice the sine of the half, $\operatorname{crd}\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}$, so our trigonometric functions have their roots in ancient astronomy (Katz).

In the simulation below you can drag the point $P$ along the unit circle and watch how the sine, cosine and tangent of the angle $\alpha$ change.

Recommended videos

• Beautiful Trigonometry — Numberphile
• Trigonometry fundamentals (Lockdown math ep. 2) — 3Blue1Brown

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Unit circle · Cosine · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent

Proprietà — Identità fondamentale

Per ogni $\alpha\in\mathbb{R}$: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$ È semplicemente l’equazione della circonferenza goniometrica $x^2+y^2=1$ valutata in $P_\alpha$: poiché $\cos\alpha$ e $\sin\alpha$ sono l’ascissa e l’ordinata di un punto della circonferenza, la somma dei loro quadrati vale $1$.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coseno · Identita fondamentale · Seno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare

Property — Fundamental identity

For every $\alpha\in\mathbb{R}$: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$ It is simply the equation of the unit circle $x^2+y^2=1$ evaluated at $P_\alpha$: since $\cos\alpha$ and $\sin\alpha$ are the abscissa and ordinate of a point of the circle, the sum of their squares equals $1$.

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Cosine · Fundamental identity · Sine
Functions: Cosine · Sine
Skills: Proving

Dalla definizione come coordinate di un punto della circonferenza goniometrica si leggono subito dominio, immagine e segno delle tre funzioni.

Proprietà — Dominio, immagine, segno

• $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ sono definiti per ogni $\alpha\in\mathbb{R}$, con immagine $[-1;1]$.
• $\tan\alpha$ è definita per $\alpha\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ (dove $\cos\alpha = 0$), e la sua immagine è tutto $\mathbb{R}$.
• I segni di $\sin,\cos,\tan$ nei quattro quadranti sono:

	I	II	III	IV
$\sin$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan$	$+$	$-$	$+$	$-$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coseno · Dominio · Immagine · Seno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Ragionare per casi

From the definition as coordinates of a point of the unit circle one reads off at once the domain, range and sign of the three functions.

Property — Domain, range, sign

• $\sin\alpha$ and $\cos\alpha$ are defined for every $\alpha\in\mathbb{R}$, with range $[-1;1]$.
• $\tan\alpha$ is defined for $\alpha\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ (where $\cos\alpha = 0$), and its range is the whole of $\mathbb{R}$.
• The signs of $\sin,\cos,\tan$ in the four quadrants are:

	I	II	III	IV
$\sin$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan$	$+$	$-$	$+$	$-$

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Cosine · Domain · Range · Sine · Tangent
Functions: Cosine · Sine · Tangent
Skills: Reasoning by cases

Il seno che oggi leggiamo come ordinata di un punto sulla circonferenza goniometrica ha una storia lunga e sorprendente, che attraversa la Grecia, l’India e il mondo islamico prima di arrivare all’Europa medievale.

Le tavole di corde dei Greci

Per prevedere le posizioni dei pianeti gli astronomi greci avevano bisogno di legare gli angoli alle lunghezze. Non disponevano però del seno: usavano la corda dell’arco, cioè la distanza fra i due estremi dell’arco sotteso da un angolo al centro. Ipparco di Nicea (II secolo a.C.) è tradizionalmente considerato l’autore della prima tavola di corde, andata perduta; il testimone giunto fino a noi è la grande tabella di Claudio Tolomeo nell’Almagesto (II secolo d.C.), calcolata a passi di mezzo grado (Boyer). La corda e il seno sono legati da una relazione semplice: se il raggio vale $1$, $\operatorname{crd}\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}.$ La corda è dunque, in sostanza, un doppio seno di un angolo dimezzato.

La svolta indiana: la semicorda

Furono i matematici indiani, tra il V e il VI secolo, a compiere il passo decisivo. Nel Aryabhatiya (499 d.C.) Aryabhata e la sua scuola tabularono non più la corda intera, ma la semicorda, cioè proprio la nostra funzione $\sin\alpha$: molto più comoda per i calcoli astronomici. La chiamarono jya (o ardha-jya, “mezza corda”), parola sanscrita che significa “corda dell’arco” nel senso della corda di un arco da tiro (Katz).

Come jya diventò sinus

La parola compì poi un viaggio curioso. Passando all’arabo, jya fu trascritta foneticamente come jiba, ma nella scrittura araba, che di norma omette le vocali brevi, restava solo il gruppo di consonanti jb. Nel mondo islamico gli astronomi, tra cui al-Battani (IX–X secolo), usarono largamente la semicorda nelle loro tavole. Quando nel XII secolo i traduttori europei resero in latino questi testi, lessero jb come jaib, parola araba che significa “seno”, “piega della veste”, “insenatura”; e la tradussero con il latino sinus, che ha lo stesso significato (Boyer). Da lì derivano l’italiano seno, l’inglese sine e i loro simboli. Così una parola che in origine indicava la corda di un arco è arrivata a noi trasformata, per una traduzione, nel nome del golfo o della piega di un mantello.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Circonferenza goniometrica · Seno
Persone: al-Battānī · Aryabhata · Claudio Tolomeo · Ipparco di Nicea

The sine we now read as the ordinate of a point on the unit circle has a long and surprising history, one that crosses Greece, India and the Islamic world before reaching medieval Europe.

The Greek tables of chords

To predict the positions of the planets, Greek astronomers needed to relate angles to lengths. They did not have the sine, however: they used the chord of an arc, that is, the distance between the two endpoints of the arc subtended by a central angle. Hipparchus of Nicaea (2nd century BC) is traditionally regarded as the author of the first table of chords, now lost; the surviving witness is the great table of Claudius Ptolemy in the Almagest (2nd century AD), computed in steps of half a degree (Boyer). Chord and sine are linked by a simple relation: if the radius is $1$, $\operatorname{crd}\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}.$ The chord is thus, in essence, twice the sine of a halved angle.

The Indian turn: the half-chord

It was the Indian mathematicians, between the 5th and 6th centuries, who took the decisive step. In the Aryabhatiya (499 AD) Aryabhata and his school tabulated no longer the full chord but the half-chord, precisely our function $\sin\alpha$: far more convenient for astronomical computation. They called it jya (or ardha-jya, “half-chord”), a Sanskrit word meaning “bowstring”, the chord of an archer’s bow (Katz).

How jya became sinus

The word then made a curious journey. Passing into Arabic, jya was transliterated phonetically as jiba, but in Arabic writing, which usually omits short vowels, only the consonant cluster jb remained. In the Islamic world astronomers, among them al-Battani (9th–10th century), made wide use of the half-chord in their tables. When in the 12th century European translators rendered these texts into Latin, they read jb as jaib, an Arabic word meaning “bosom”, “fold of a garment”, “bay”; and they translated it with the Latin sinus, which has the same meaning (Boyer). From this come the English sine, the Italian seno and their symbols. Thus a word that originally denoted the chord of an arc reached us transformed, through a translation, into the name of a bay or the fold of a cloak.

Links

Topics: Trigonometry
Concepts: Sine · Unit circle
People: Hipparchus · Claudius Ptolemy · Aryabhata · al-Battani