Rette parallele e angoli

Quando una retta taglia due parallele, si creano coppie di angoli con relazioni precise. Queste relazioni — alterni interni, alterni esterni, coniugati, corrispondenti — sono la chiave per dimostrare proprietà dei triangoli e dei quadrilateri. La loro prima grande applicazione è il calcolo della somma degli angoli interni di un triangolo.

• Angoli formati da rette parallele e trasversale
• Somma degli angoli interni di un triangolo

When a line cuts two parallels, pairs of angles are created with precise relations. These relations — alternate interior, alternate exterior, co-interior, corresponding — are the key to proving properties of triangles and quadrilaterals. Their first great application is computing the sum of the interior angles of a triangle.

• Angles formed by parallel lines and a transversal
• Sum of the interior angles of a triangle

Il parallelismo si “traduce” in relazioni tra angoli non appena una trasversale taglia le due rette. Sono queste relazioni a rendere il parallelismo uno strumento di dimostrazione così potente.

Teorema — Angoli formati da rette parallele e trasversale

Se due rette $r$ e $s$ sono parallele e una trasversale $t$ le taglia, allora:

1. gli angoli alterni interni sono congruenti;
2. gli angoli alterni esterni sono congruenti;
3. gli angoli coniugati interni sono supplementari;
4. gli angoli corrispondenti sono congruenti.

Valgono anche i teoremi inversi: se una qualunque di queste condizioni è verificata, allora le rette sono parallele.

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Retta · Rette parallele · Teorema inverso · Trasversale
Competenze: Geometria sintetica

Parallelism “translates” into relations between angles as soon as a transversal cuts the two lines. It is these relations that make parallelism such a powerful tool for proofs.

Theorem — Angles formed by parallel lines and a transversal

If two lines $r$ and $s$ are parallel and a transversal $t$ cuts them, then:

1. the alternate interior angles are congruent;
2. the alternate exterior angles are congruent;
3. the co-interior angles are supplementary;
4. the corresponding angles are congruent.

The converse theorems also hold: if any one of these conditions is satisfied, then the lines are parallel.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Alternate interior angles · Line · Parallel lines · Converse theorem · Transversal
Skills: Synthetic geometry

Ecco la prima grande applicazione degli angoli alterni interni: la dimostrazione, elegante e brevissima, che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre un angolo piatto.

Teorema — Somma degli angoli interni di un triangolo

In ogni triangolo la somma degli angoli interni è $\pi$ (cioè $180^\circ$). $\alpha,\,\beta,\,\gamma \text{ angoli interni di } \triangle ABC \implies \alpha + \beta + \gamma = \pi$

Dimostrazione

Per $C$ si traccia la parallela $DE$ ad $AB$: gli angoli alla base “risalgono” attorno a $C$ formando un angolo piatto.

Success

1. Costruzione. Tracciamo per $C$ la retta $DE$ parallela ad $AB$.
2. Osservo. Poiché $AB \parallel DE$ e $AC$ è trasversale, gli angoli $\widehat{BAC}$ e $\widehat{ACD}$ sono alterni interni, dunque $\widehat{ACD} \cong \alpha$.
3. Analogamente. Usando $BC$ come trasversale: $\widehat{ECB} \cong \beta$.
4. Deduco. A questo punto, gli angoli $\widehat{ACD}$, $\widehat{ACB} = \gamma$ e $\widehat{ECB}$ sono consecutivi e formano un angolo piatto: $\alpha + \gamma + \beta = \pi.$

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Dimostrazione · Retta · Rette parallele · Somma angoli triangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

Here is the first great application of alternate interior angles: the elegant and very short proof that the sum of the interior angles of a triangle is always a straight angle.

Theorem — Sum of the interior angles of a triangle

In every triangle the sum of the interior angles is $\pi$ (that is, $180^\circ$). $\alpha,\,\beta,\,\gamma \text{ angoli interni di } \triangle ABC \implies \alpha + \beta + \gamma = \pi$

Proof

Through $C$ we draw the parallel $DE$ to $AB$: the base angles “climb back” around $C$ forming a straight angle.

Success

1. Construction. Through $C$ we draw the line $DE$ parallel to $AB$.
2. Observe. Since $AB \parallel DE$ and $AC$ is a transversal, the angles $\widehat{BAC}$ and $\widehat{ACD}$ are alternate interior, hence $\widehat{ACD} \cong \alpha$.
3. Similarly. Using $BC$ as the transversal: $\widehat{ECB} \cong \beta$.
4. Deduce. At this point, the angles $\widehat{ACD}$, $\widehat{ACB} = \gamma$ and $\widehat{ECB}$ are consecutive and form a straight angle: $\alpha + \gamma + \beta = \pi.$

$\blacksquare$

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Alternate interior angles · Proof · Line · Parallel lines · Sum of triangle angles
Skills: Proving · Synthetic geometry