Il principio di Cavalieri

Prima di calcolare i volumi con l’integrale, vediamo un principio intuitivo che li caratterizza geometricamente, senza ancora usare il calcolo integrale: il principio di Cavalieri (Bonaventura Cavalieri, allievo di Galileo, 1635). È lo stesso principio che giustifica l’equiscomponibilità delle figure piane, e sommando “infinite sezioni infinitesime” anticipa di un secolo il calcolo integrale.

• Il principio di Cavalieri
• Cavalieri all’opera - prisma e sfera

Before computing volumes with the integral, let us see an intuitive principle that characterises them geometrically, without yet using integral calculus: Cavalieri’s principle (Bonaventura Cavalieri, a pupil of Galileo, 1635). It is the same principle that justifies the equidecomposability of plane figures, and by summing “infinitely many infinitesimal cross-sections” it anticipates integral calculus by a century.

• Cavalieri’s principle
• Cavalieri at work - prism and sphere

Prima di calcolare i volumi tramite l’integrale, vediamo un principio intuitivo che li caratterizza geometricamente, senza ancora usare il calcolo integrale: il principio di Cavalieri (Bonaventura Cavalieri, allievo di Galileo, 1635; Boyer, Storia della matematica, cap. 14). È lo stesso principio che giustifica, ad esempio, l’equiscomponibilità delle figure piane vista nella dimostrazione del teorema di Pitagora.

Teorema — Principio di Cavalieri, versione 2D

Date due figure piane $A, B$ comprese tra due rette parallele $r$ ed $s$: se ogni retta parallela ad $r$ taglia $A$ e $B$ in segmenti di ugual lunghezza, allora $A$ e $B$ hanno la stessa area.

Teorema — Principio di Cavalieri, versione 3D

Dati due solidi $S_1, S_2$ compresi tra due piani paralleli $\pi_1$ e $\pi_2$: se ogni piano parallelo a $\pi_1$ taglia $S_1$ e $S_2$ in sezioni di ugual area, allora $S_1$ e $S_2$ hanno lo stesso volume.

Cilindro retto e cilindro obliquo: a ogni quota le sezioni hanno la stessa area, quindi per Cavalieri hanno lo stesso volume.

Osservazione — Dal principio all'integrale

Cavalieri stesso, sommando “infinite sezioni infinitesime”, anticipò il calcolo integrale di un secolo. La formula $V = \int_a^b A(z)\,dz$ è la versione moderna del suo principio: il volume è l’accumulazione lungo $z$ delle aree $A(z)$ delle sezioni. Cavalieri lo enunciava senza il simbolo $\int$; noi lo dimostriamo con l’integrale nella sezione seguente.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Metodi: Cavalieri principio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Bonaventura Cavalieri · Galilei

Before computing volumes via the integral, let us look at an intuitive principle that characterises them geometrically, without yet using integral calculus: Cavalieri’s principle (Bonaventura Cavalieri, a pupil of Galileo, 1635; Boyer, A History of Mathematics, ch. 14). It is the same principle that justifies, for instance, the equidecomposability of plane figures seen in the proof of Pythagoras’s theorem.

Theorem — Cavalieri's principle, 2D version

Given two plane figures $A, B$ contained between two parallel lines $r$ and $s$: if every line parallel to $r$ cuts $A$ and $B$ in segments of equal length, then $A$ and $B$ have the same area.

Theorem — Cavalieri's principle, 3D version

Given two solids $S_1, S_2$ contained between two parallel planes $\pi_1$ and $\pi_2$: if every plane parallel to $\pi_1$ cuts $S_1$ and $S_2$ in cross-sections of equal area, then $S_1$ and $S_2$ have the same volume.

Right cylinder and oblique cylinder: at every height the cross-sections have the same area, so by Cavalieri they have the same volume.

Remark — From the principle to the integral

Cavalieri himself, summing “infinitely many infinitesimal cross-sections”, anticipated integral calculus by a century. The formula $V = \int_a^b A(z)\,dz$ is the modern version of his principle: the volume is the accumulation along $z$ of the areas $A(z)$ of the cross-sections. Cavalieri stated it without the symbol $\int$; we prove it with the integral in the following section.

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Topics: Integral
Concepts: Definite integral · Cavalieri’s principle · Volume by cross-sections
Methods: Cavalieri’s principle
Skills: Proving · Synthetic geometry
People: Bonaventura Cavalieri · Galilei

Vediamo il principio di Cavalieri applicato a due casi classici: il prisma obliquo e la sfera.

Esempio — Volume del prisma obliquo

Un prisma retto e un prisma obliquo con la stessa base e la stessa altezza hanno lo stesso volume: a ogni quota $z$ le due sezioni sono congruenti alla base (e quindi di ugual area). Per Cavalieri, $V_{\text{obliquo}} = V_{\text{retto}} = B\cdot h.$

Esempio — Volume della sfera via Cavalieri (la dimostrazione di Archimede)

Confrontiamo la semisfera di raggio $R$ con il solido ottenuto dal cilindro retto di raggio $R$ e altezza $R$ a cui si toglie un cono retto di raggio $R$ e altezza $R$ (cono “invertito” rispetto al cilindro). A quota $z\in[0,R]$ dalla base:

• Sezione della semisfera: disco di raggio $r_S = \sqrt{R^2-z^2}$, area $\pi(R^2-z^2)$.
• Sezione del cilindro meno cono: corona circolare con raggio esterno $R$ e raggio interno $r_C = z$ (dal cono), area $\pi R^2 - \pi z^2 = \pi(R^2-z^2)$.

Le aree coincidono a ogni quota $z$. Per Cavalieri: $V_{\text{semisfera}} = V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cono}} = \pi R^2\cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2\cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3,$ da cui $V_{\text{sfera}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, lo stesso risultato che ricaveremo con l’integrale.

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Argomenti: Integrale
Concetti: Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Metodi: Cavalieri prisma
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Archimede · Bonaventura Cavalieri

Let us see Cavalieri’s principle applied to two classic cases: the oblique prism and the sphere.

Example — Volume of the oblique prism

A right prism and an oblique prism with the same base and the same height have the same volume: at every height $z$ the two cross-sections are congruent to the base (and hence of equal area). By Cavalieri, $V_{\text{obliquo}} = V_{\text{retto}} = B\cdot h.$

Example — Volume of the sphere via Cavalieri (Archimedes' proof)

Let us compare the hemisphere of radius $R$ with the solid obtained from the right cylinder of radius $R$ and height $R$ by removing a right cone of radius $R$ and height $R$ (a cone “inverted” with respect to the cylinder). At height $z\in[0,R]$ from the base:

• Cross-section of the hemisphere: disc of radius $r_S = \sqrt{R^2-z^2}$, area $\pi(R^2-z^2)$.
• Cross-section of the cylinder minus cone: circular annulus with outer radius $R$ and inner radius $r_C = z$ (from the cone), area $\pi R^2 - \pi z^2 = \pi(R^2-z^2)$.

The areas coincide at every height $z$. By Cavalieri: $V_{\text{semisfera}} = V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cono}} = \pi R^2\cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2\cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3,$ whence $V_{\text{sfera}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, the same result that we shall obtain with the integral.

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Methods: Cavalieri prisma
Skills: Dimostrare · Geometria sintetica
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