Dominio e punti di accumulazione

Prima ancora di dire “cosa fa $f$ vicino a $x_0$”, dobbiamo sapere quando ha senso parlare di limite in $x_0$. Servono due strumenti: l’intorno di un punto e il punto di accumulazione di un insieme. Un limite si può fare solo nei punti di accumulazione del dominio, perché lì — e solo lì — ci sono infiniti valori della funzione vicini a cui “guardare”.

• Intorno di un punto
• Punto di accumulazione
• Lettura linguistica della definizione
• Punto isolato e appartenenza al dominio
• Esempi di punti di accumulazione
• Quando ha senso il limite
• Punti di accumulazione all’infinito

Before even saying “what $f$ does near $x_0$”, we must know when it makes sense to speak of a limit at $x_0$. Two tools are needed: the neighbourhood of a point and the accumulation point of a set. A limit can be taken only at the accumulation points of the domain, because there — and only there — are there infinitely many values of the function nearby to “look at”.

• Neighbourhood of a point
• Accumulation point
• A linguistic reading of the definition
• Isolated point and membership of the domain
• Examples of accumulation points
• When the limit makes sense
• Accumulation points at infinity

Per parlare di “vicinanza” a un punto in modo preciso introduciamo l’intorno.

Definizione — Intorno

Dato $x_0\in\mathbb{R}$ e $\delta>0$, l’intorno (aperto) di centro $x_0$ e raggio $\delta$ è l’intervallo $I_\delta(x_0) = (x_0-\delta,\ x_0+\delta) = \{x\in\mathbb{R} : |x-x_0|<\delta\}.$ L’intorno bucato è $\dot I_\delta(x_0) = I_\delta(x_0)\setminus\{x_0\}$: lo stesso intervallo privato del suo centro.

L’intorno bucato serve perché, quando studiamo un limite in $x_0$, ci interessa il comportamento della funzione attorno a $x_0$ ma non nel punto stesso.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Intorno · Valore assoluto

To speak of “closeness” to a point in a precise way we introduce the neighbourhood.

Definition — Neighbourhood

Given $x_0\in\mathbb{R}$ and $\delta>0$, the (open) neighbourhood centred at $x_0$ with radius $\delta$ is the interval $I_\delta(x_0) = (x_0-\delta,\ x_0+\delta) = \{x\in\mathbb{R} : |x-x_0|<\delta\}.$ The punctured neighbourhood is $\dot I_\delta(x_0) = I_\delta(x_0)\setminus\{x_0\}$: the same interval with its centre removed.

The punctured neighbourhood is needed because, when we study a limit at $x_0$, we are interested in the behaviour of the function around $x_0$ but not at the point itself.

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Topics: Limits
Concepts: Neighbourhood · Absolute value

Con l’intorno bucato possiamo dire con precisione quando un punto è “circondato” da punti di un insieme.

Definizione — Punto di accumulazione

Sia $D\subseteq\mathbb{R}$. Il punto $x_0\in\mathbb{R}$ è un punto di accumulazione di $D$ se in ogni intorno bucato di $x_0$ cade almeno un punto di $D$: $\forall\,\delta>0:\quad \dot I_\delta(x_0)\cap D \ne \emptyset.$ Equivalentemente: ogni intorno di $x_0$ contiene infiniti punti di $D$.

Le due formulazioni sono equivalenti: se in ogni intorno bucato, anche piccolissimo, cade sempre almeno un punto di $D$, allora di punti ne cadono necessariamente infiniti (vicini quanto si vuole a $x_0$).

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Argomenti: Limiti
Concetti: Intorno · Punto di accumulazione
Metodi: Punto accumulazione
Competenze: Dimostrare

With the punctured neighbourhood we can say precisely when a point is “surrounded” by points of a set.

Definition — Accumulation point

Let $D\subseteq\mathbb{R}$. The point $x_0\in\mathbb{R}$ is an accumulation point of $D$ if in every punctured neighbourhood of $x_0$ there falls at least one point of $D$: $\forall\,\delta>0:\quad \dot I_\delta(x_0)\cap D \ne \emptyset.$ Equivalently: every neighbourhood of $x_0$ contains infinitely many points of $D$.

The two formulations are equivalent: if in every punctured neighbourhood, however small, there always falls at least one point of $D$, then infinitely many points necessarily fall there (as close as we like to $x_0$).

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Topics: Limits
Concepts: Neighbourhood · Accumulation point
Methods: Accumulation point
Skills: Proving

Osservazione — Lettura linguistica della definizione

La definizione di punto di accumulazione è una frase quantificata: ”$\forall\,\delta>0,\ \exists$ un punto di $D$ in $\dot I_\delta(x_0)$”. Il quantificatore universale “per ogni $\delta$” significa che la proprietà vale anche per $\delta$ molto piccolo: è proprio questo a forzare l’esistenza di infiniti punti di $D$ vicini a $x_0$. Se ne togliessimo uno alla volta, a partire dai più vicini, ne resterebbe sempre almeno un altro (basta scegliere $\delta$ più piccolo della distanza minima al più vicino rimasto).

Come nota Esty, in matematica la parola “ogni” è quasi sempre un quantificatore, non un aggettivo; saperlo riconoscere distingue chi capisce davvero la definizione da chi la legge solo come una frase.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Punto di accumulazione

Remark — A linguistic reading of the definition

The definition of accumulation point is a quantified sentence: ”$\forall\,\delta>0,\ \exists$ a point of $D$ in $\dot I_\delta(x_0)$”. The universal quantifier “for every $\delta$” means that the property holds even for very small $\delta$: it is precisely this that forces the existence of infinitely many points of $D$ close to $x_0$. If we removed them one at a time, starting from the nearest, there would always remain at least one more (it suffices to choose $\delta$ smaller than the minimum distance to the nearest one remaining).

As Esty notes, in mathematics the word “every” is almost always a quantifier, not an adjective; being able to recognise this distinguishes those who truly understand the definition from those who read it merely as a sentence.

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Concepts: Accumulation point

Essere di accumulazione e appartenere all’insieme sono due proprietà indipendenti: bisogna tenerle ben distinte.

Osservazione — Differenza con "punto isolato" e con "appartenere a $D$"

• Un punto isolato di $D$ è un punto di $D$ che ha un intorno in cui non cade nessun altro punto di $D$. Un punto isolato non è di accumulazione.
• Un punto di accumulazione può non appartenere a $D$: per esempio $0$ è di accumulazione per $D = (0,1]$ pur non essendo dentro $D$.
• Un punto $x_0\in D$ può essere o non essere di accumulazione: in $D = \{1\}\cup [2,3]$, il punto $1$ appartiene a $D$ ma è isolato, mentre $2$ appartiene a $D$ ed è di accumulazione.

In sintesi: “di accumulazione” descrive come i punti di $D$ si addensano attorno a $x_0$, e prescinde dal fatto che $x_0$ sia o meno un elemento di $D$.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Punto di accumulazione · Punto isolato
Competenze: Ragionare per casi

Being an accumulation point and belonging to the set are two independent properties: they must be kept clearly distinct.

Remark — Difference from "isolated point" and from "belonging to $D$"

• An isolated point of $D$ is a point of $D$ that has a neighbourhood in which no other point of $D$ falls. An isolated point is not an accumulation point.
• An accumulation point may not belong to $D$: for example $0$ is an accumulation point of $D = (0,1]$ even though it is not inside $D$.
• A point $x_0\in D$ may or may not be an accumulation point: in $D = \{1\}\cup [2,3]$, the point $1$ belongs to $D$ but is isolated, whereas $2$ belongs to $D$ and is an accumulation point.

In short: “accumulation point” describes how the points of $D$ cluster around $x_0$, and it is independent of whether or not $x_0$ is an element of $D$.

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Concepts: Accumulation point · Isolated point
Skills: Reasoning by cases

Esempio — Insiemi tipici

• $\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}\subset\mathbb{R}$: tutti i suoi punti sono isolati; nessun reale finito è di accumulazione (solo $+\infty$, se ammettiamo punti all’infinito).
• $\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$: come sopra, tutti i punti sono isolati.
• $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$: ogni numero reale è di accumulazione di $\mathbb{Q}$ (tra due reali distinti esistono infiniti razionali).
• $D = \{1/n : n\in\mathbb{N},\ n\ge 1\}$: tutti i punti $1/n$ sono isolati; $0\notin D$ è di accumulazione.
• $D = [0,1]\cup\{3\}$: ogni punto di $[0,1]$ è di accumulazione; $3$ è isolato.
• $D = (0,1)\cup(1,2)$: ogni punto di $[0,2]$ (estremi inclusi) è di accumulazione, anche $1$ pur non appartenendo a $D$.

Questi esempi mostrano i tre comportamenti tipici: insiemi fatti solo di punti isolati (come $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$), insiemi “densi” in cui ogni reale è di accumulazione (come $\mathbb{Q}$), e insiemi con punti di accumulazione che stanno sul “bordo” ma non appartengono all’insieme.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Insiemi numerici · Punto di accumulazione · Punto isolato
Competenze: Ragionare per casi

Example — Typical sets

• $\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}\subset\mathbb{R}$: all its points are isolated; no finite real is an accumulation point (only $+\infty$, if we allow points at infinity).
• $\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$: as above, all points are isolated.
• $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$: every real number is an accumulation point of $\mathbb{Q}$ (between two distinct reals there exist infinitely many rationals).
• $D = \{1/n : n\in\mathbb{N},\ n\ge 1\}$: all the points $1/n$ are isolated; $0\notin D$ is an accumulation point.
• $D = [0,1]\cup\{3\}$: every point of $[0,1]$ is an accumulation point; $3$ is isolated.
• $D = (0,1)\cup(1,2)$: every point of $[0,2]$ (endpoints included) is an accumulation point, including $1$ even though it does not belong to $D$.

These examples show the three typical behaviours: sets made only of isolated points (such as $\mathbb{N}$ and $\mathbb{Z}$), “dense” sets in which every real is an accumulation point (such as $\mathbb{Q}$), and sets with accumulation points that lie on the “boundary” but do not belong to the set.

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Topics: Limits
Concepts: Number sets · Accumulation point · Isolated point
Skills: Reasoning by cases

Attenzione — Quando ha senso il limite

Il limite $\lim_{x\to x_0}f(x)$ si definisce solo per punti $x_0$ che siano di accumulazione per il dominio di $f$. La ragione è semplice: per “vedere $f$ avvicinarsi a un valore $L$” servono infiniti valori di $x$ vicini a $x_0$ (e diversi da $x_0$); se $x_0$ è isolato, non ce ne sono.

Un esempio chiarisce la differenza tra i due casi. La funzione $f(x) = \sqrt{x-2}$ ha dominio $D = [2,+\infty)$.

• Ha senso calcolare $\lim_{x\to 2}f(x)$, perché $2$ è di accumulazione per $D$, anche se a sinistra di $2$ non si può “arrivare”: il limite esiste solo da destra.
• Non ha senso parlare di $\lim_{x\to 0}f(x)$, perché $0$ non è di accumulazione per $D$: esiste un intorno di $0$, ad esempio $(-1,1)$, che non contiene alcun punto di $D$.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Dominio · Limite · Limite destro sinistro · Punto di accumulazione

Warning — When the limit makes sense

The limit $\lim_{x\to x_0}f(x)$ is defined only for points $x_0$ that are accumulation points of the domain of $f$. The reason is simple: to “see $f$ approach a value $L$” one needs infinitely many values of $x$ close to $x_0$ (and different from $x_0$); if $x_0$ is isolated, there are none.

An example clarifies the difference between the two cases. The function $f(x) = \sqrt{x-2}$ has domain $D = [2,+\infty)$.

• It makes sense to compute $\lim_{x\to 2}f(x)$, because $2$ is an accumulation point of $D$, even though one cannot “arrive” from the left of $2$: the limit exists only from the right.
• It makes no sense to speak of $\lim_{x\to 0}f(x)$, because $0$ is not an accumulation point of $D$: there exists a neighbourhood of $0$, for example $(-1,1)$, that contains no point of $D$.

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Concepts: Domain · Limit · Right and left limit · Accumulation point

Osservazione — Punti di accumulazione all'infinito

Si dice che $+\infty$ è di accumulazione per $D$ se $D$ è illimitato superiormente, cioè se per ogni $M>0$ esiste $x\in D$ con $x>M$. Analogamente per $-\infty$ (illimitato inferiormente).

È proprio questa nozione che dà senso ai limiti del tipo $\lim_{x\to+\infty}f(x)$: possiamo “far tendere $x$ all’infinito” solo se nel dominio ci sono valori di $x$ grandi quanto vogliamo.

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Argomenti: Limiti
Concetti: Infinito · Punto di accumulazione

Remark — Accumulation points at infinity

We say that $+\infty$ is an accumulation point of $D$ if $D$ is unbounded above, that is, if for every $M>0$ there exists $x\in D$ with $x>M$. Similarly for $-\infty$ (unbounded below).

It is precisely this notion that gives meaning to limits of the form $\lim_{x\to+\infty}f(x)$: we can “let $x$ tend to infinity” only if the domain contains values of $x$ as large as we wish.

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