Perpendicolarità tra rette e piani

Prima di misurare i solidi occorre capire come si dispongono rette e piani nello spazio. Il concetto chiave è la perpendicolarità di una retta rispetto a un piano: basta un semplice criterio (due rette, non tutte) per riconoscerla, e da essa discende il teorema delle tre perpendicolari, strumento fondamentale per studiare altezze e apotemi dei solidi.

• Retta perpendicolare a un piano
• Teorema delle tre perpendicolari

Before measuring solids one must understand how lines and planes are arranged in space. The key concept is the perpendicularity of a line with respect to a plane: a simple criterion suffices (two lines, not all of them) to recognise it, and from it follows the theorem of the three perpendiculars, a fundamental tool for studying the heights and slant heights of solids.

• Line perpendicular to a plane
• Theorem of the three perpendiculars

Nello spazio la perpendicolarità non riguarda più solo due rette, ma anche una retta e un piano. L’idea è che la retta sia “dritta” rispetto al piano in ogni direzione.

Definizione — Retta perpendicolare a un piano

Una retta $r$ è perpendicolare a un piano $\pi$ se interseca $\pi$ in un punto $P$ ed è perpendicolare a ogni retta del piano passante per $P$.

Verificare la perpendicolarità rispetto a tutte le rette del piano sarebbe impossibile in pratica. Per fortuna ne bastano due.

Teorema — Criterio di perpendicolarità retta-piano

Una retta $r$ è $\perp$ a un piano $\pi$ in $P$ se e solo se è $\perp$ a due rette di $\pi$ passanti per $P$ e non parallele fra loro. Non serve controllare tutte le rette del piano: bastano due.

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Perpendicolarita retta piano
Competenze: Geometria sintetica

In space, perpendicularity no longer concerns only two lines, but also a line and a plane. The idea is that the line be “straight” with respect to the plane in every direction.

Definition — Line perpendicular to a plane

A line $r$ is perpendicular to a plane $\pi$ if it intersects $\pi$ at a point $P$ and is perpendicular to every line of the plane passing through $P$.

Checking perpendicularity with respect to all the lines of the plane would be impossible in practice. Fortunately two are enough.

Theorem — Line-plane perpendicularity criterion

A line $r$ is $\perp$ to a plane $\pi$ at $P$ if and only if it is $\perp$ to two lines of $\pi$ passing through $P$ and not parallel to each other. There is no need to check all the lines of the plane: two are enough.

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Topics: Synthetic geometry in space
Concepts: Line-plane perpendicularity
Skills: Synthetic geometry

Dal criterio di perpendicolarità discende uno dei risultati più utili della geometria dello spazio.

Teorema — Teorema delle tre perpendicolari

Sia $r$ una retta $\perp$ a un piano $\pi$ in un punto $H$, e sia $s$ una retta di $\pi$ non passante per $H$. Sia $K$ il piede della perpendicolare da $H$ a $s$ (nel piano $\pi$). Allora, per qualunque punto $V$ sulla retta $r$ (con $V\ne H$), la retta $VK$ è perpendicolare a $s$.

Dimostrazione

Poiché $r\perp\pi$ in $H$ e $s\subset\pi$, si ha $r\perp s$. Inoltre $HK\perp s$ per costruzione (è la perpendicolare abbassata da $H$ a $s$ nel piano). Consideriamo il piano $\alpha$ che contiene la retta $r$ e i punti $H$ e $K$: sia $r$ sia $HK$ giacciono in $\alpha$. La retta $s$ è dunque perpendicolare a due rette distinte di $\alpha$, quindi $s\perp\alpha$. Poiché $VK$ giace nello stesso piano $\alpha$, ne segue $s\perp VK$. $\blacksquare$

La retta $r$ è perpendicolare al piano in $H$; $K$ è il piede della perpendicolare da $H$ a $s$. Allora $VK\perp s$.

Osservazione — Applicazione: piramide retta

Il teorema delle tre perpendicolari spiega perché, in una piramide retta, l’altezza $VH$ cade nel centro del cerchio inscritto nella base. Se $VH\perp$ al piano di base, allora $VH$ è perpendicolare a ogni retta della base, in particolare agli spigoli di base. Dunque l’apotema di ciascuna faccia laterale è $\perp$ allo spigolo di base, e i piedi di queste perpendicolari risultano tutti equidistanti da $H$: cioè $H$ è il centro del cerchio inscritto nella base.

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Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Perpendicolarita retta piano · Piramide · Teorema tre perpendicolari
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

From the perpendicularity criterion follows one of the most useful results of the geometry of space.

Theorem — Theorem of the three perpendiculars

Let $r$ be a line $\perp$ to a plane $\pi$ at a point $H$, and let $s$ be a line of $\pi$ not passing through $H$. Let $K$ be the foot of the perpendicular from $H$ to $s$ (in the plane $\pi$). Then, for any point $V$ on the line $r$ (with $V\ne H$), the line $VK$ is perpendicular to $s$.

Proof

Since $r\perp\pi$ at $H$ and $s\subset\pi$, we have $r\perp s$. Moreover $HK\perp s$ by construction (it is the perpendicular dropped from $H$ to $s$ in the plane). Consider the plane $\alpha$ that contains the line $r$ and the points $H$ and $K$: both $r$ and $HK$ lie in $\alpha$. The line $s$ is therefore perpendicular to two distinct lines of $\alpha$, hence $s\perp\alpha$. Since $VK$ lies in the same plane $\alpha$, it follows that $s\perp VK$. $\blacksquare$

The line $r$ is perpendicular to the plane at $H$; $K$ is the foot of the perpendicular from $H$ to $s$. Then $VK\perp s$.

Observation — Application: right pyramid

The theorem of the three perpendiculars explains why, in a right pyramid, the height $VH$ falls at the centre of the circle inscribed in the base. If $VH\perp$ to the plane of the base, then $VH$ is perpendicular to every line of the base, in particular to the base edges. Hence the slant height of each lateral face is $\perp$ to the base edge, and the feet of these perpendiculars turn out to be all equidistant from $H$: that is, $H$ is the centre of the circle inscribed in the base.

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Topics: Synthetic geometry in space
Concepts: Line-plane perpendicularity · Pyramid · Theorem of the three perpendiculars
Skills: Proving · Synthetic geometry