Relazioni metriche nel triangolo rettangolo

Combinando il teorema di Pitagora con la similitudine si ottengono i teoremi di Euclide: relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo e i segmenti creati dall’altezza sull’ipotenusa. L’altezza relativa all’ipotenusa divide il triangolo in due triangoli simili a quello di partenza, e da questa similitudine discendono tutte le proporzioni.

• Primo teorema di Euclide
• Secondo teorema di Euclide
• Dimostrazione dei teoremi di Euclide

By combining Pythagoras’ theorem with similarity we obtain the theorems of Euclid: relations between the sides of a right-angled triangle and the segments created by the altitude on the hypotenuse. The altitude relative to the hypotenuse divides the triangle into two triangles similar to the original one, and from this similarity all the proportions follow.

• Euclid’s first theorem
• Euclid’s second theorem
• Proof of Euclid’s theorems

Combinando il teorema di Pitagora con la similitudine otteniamo i teoremi di Euclide, che legano i lati di un triangolo rettangolo ai segmenti creati dall’altezza sull’ipotenusa.

Teorema — Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, ciascun cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

In altre parole, detti $AB$ l’ipotenusa e $AH$ la proiezione del cateto $AC$ su di essa, vale la proporzione $AB : AC = AC : AH$, cioè $AC^2 = AB \cdot AH$.

Nella simulazione seguente trascina il vertice $C$ lungo la semicirconferenza e osserva che vale sempre $CB^2 = AB \cdot HB$ e $CA^2 = AB \cdot AH$.

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Medio proporzionale · Teoremi di euclide · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica
Persone: Euclide · Pitagora

By combining Pythagoras’ theorem with similarity we obtain the theorems of Euclid, which relate the sides of a right-angled triangle to the segments created by the altitude on the hypotenuse.

Theorem — Euclid's first theorem

In a right-angled triangle, each leg is the geometric mean between the hypotenuse and its projection onto the hypotenuse.

In other words, letting $AB$ be the hypotenuse and $AH$ the projection of the leg $AC$ onto it, the proportion $AB : AC = AC : AH$ holds, that is $AC^2 = AB \cdot AH$.

In the simulation below, drag the vertex $C$ along the semicircle and observe that $CB^2 = AB \cdot HB$ and $CA^2 = AB \cdot AH$ always hold.

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Topics: Similarity
Concepts: Geometric mean · Euclid’s theorems · Right-angled triangle
Skills: Synthetic geometry
People: Euclid · Pythagoras

Il secondo teorema di Euclide riguarda l’altezza relativa all’ipotenusa, che divide quest’ultima in due segmenti (le proiezioni dei cateti).

Teorema — Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa: $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}$

Da questa proporzione segue $CH^2 = AH \cdot BH$: il quadrato dell’altezza è uguale al prodotto delle due proiezioni.

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Medio proporzionale · Teoremi di euclide · Triangolo rettangolo
Competenze: Geometria sintetica
Persone: Euclide

Euclid’s second theorem concerns the altitude relative to the hypotenuse, which divides the latter into two segments (the projections of the legs).

Theorem — Euclid's second theorem

In a right-angled triangle, the altitude relative to the hypotenuse is the geometric mean between the projections of the legs onto the hypotenuse: $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}$

From this proportion it follows that $CH^2 = AH \cdot BH$: the square of the altitude equals the product of the two projections.

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Topics: Similarity
Concepts: Geometric mean · Euclid’s theorems · Right-angled triangle
Skills: Synthetic geometry
People: Euclid

L’altezza $CH$ relativa all’ipotenusa divide il triangolo rettangolo $ABC$ in due triangoli più piccoli. Mostriamo che questi sono simili tra loro: è da questa similitudine che discendono i teoremi di Euclide.

L’altezza $CH$ divide il triangolo rettangolo $ABC$ nei due triangoli $ACH$ e $BHC$.

Dimostrazione — Secondo teorema di Euclide

Confrontiamo i triangoli $ACH$ e $BHC$. Essi hanno:

• $\widehat{AHC} \cong \widehat{BHC} = 90^\circ$ (angoli retti);
• $\widehat{ACH} \cong \widehat{BCH}$ (angoli complementari dello stesso angolo).

Per il I criterio di similitudine (due angoli congruenti), i due triangoli sono simili.

Dalla similitudine, i lati omologhi sono in proporzione: $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}.$ ∎

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Argomenti: Similitudine
Concetti: Criteri di similitudine · Teoremi di euclide · Triangoli simili · Triangolo rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Euclide

The altitude $CH$ relative to the hypotenuse divides the right-angled triangle $ABC$ into two smaller triangles. We show that these are similar to each other: it is from this similarity that Euclid’s theorems follow.

The altitude $CH$ divides the right-angled triangle $ABC$ into the two triangles $ACH$ and $BHC$.

Proof — Euclid's second theorem

We compare the triangles $ACH$ and $BHC$. They have:

• $\widehat{AHC} \cong \widehat{BHC} = 90^\circ$ (right angles);
• $\widehat{ACH} \cong \widehat{BCH}$ (complementary angles of the same angle).

By the first similarity criterion (two congruent angles), the two triangles are similar.

From the similarity, the corresponding sides are in proportion: $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}.$ ∎

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Topics: Similarity
Concepts: Similarity criteria · Euclid’s theorems · Similar triangles · Right-angled triangle
Skills: Proving · Synthetic geometry
People: Euclid