Luogo geometrico

Il concetto di luogo geometrico è fondamentale: descrive l’insieme di tutti e soli i punti che soddisfano una certa proprietà. I due esempi più importanti sono l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo, che ritroveremo studiando i punti notevoli del triangolo. La sezione introduce anche la distanza punto-retta e la nozione di teorema inverso.

• Che cos’è un luogo geometrico
• Distanza di un punto da una retta
• L’asse come luogo geometrico
• Il teorema inverso

The concept of a locus is fundamental: it describes the set of all and only the points that satisfy a certain property. The two most important examples are the perpendicular bisector of a segment and the bisector of an angle, which we will meet again when studying the notable points of a triangle. The section also introduces the point-line distance and the notion of the converse theorem.

• What a locus is
• Distance of a point from a line
• The perpendicular bisector as a locus
• The converse theorem

Un luogo geometrico è un modo di descrivere una figura non tramite la sua forma, ma tramite una proprietà che i suoi punti — e solo essi — possiedono.

Definizione — Luogo geometrico

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una certa proprietà.

• Tutti: ogni punto con quella proprietà appartiene al luogo (condizione sufficiente).
• Soli: solo punti con quella proprietà appartengono al luogo (condizione necessaria).

I due luoghi geometrici più importanti del piano sono l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo.

Proprietà — Asse e bisettrice come luoghi

• L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi.
• La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai due lati.

A sinistra: i punti dell’asse sono equidistanti dagli estremi $A$ e $B$. A destra: i punti della bisettrice sono equidistanti dai due lati dell’angolo.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Asse del segmento · Bisettrice angolo · Luogo geometrico
Competenze: Geometria sintetica

A locus is a way of describing a figure not through its shape, but through a property that its points — and only they — possess.

Definition — Locus

A locus is the set of all and only the points that enjoy a certain property.

• All: every point with that property belongs to the locus (a sufficient condition).
• Only: only points with that property belong to the locus (a necessary condition).

The two most important loci of the plane are the perpendicular bisector of a segment and the bisector of an angle.

Property — Perpendicular bisector and angle bisector as loci

• The perpendicular bisector of a segment is the locus of the points equidistant from the endpoints.
• The bisector of an angle is the locus of the points equidistant from the two sides.

On the left: the points of the perpendicular bisector are equidistant from the endpoints $A$ and $B$. On the right: the points of the bisector are equidistant from the two sides of the angle.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Perpendicular bisector of a segment · Angle bisector · Locus
Skills: Synthetic geometry

Parlare di punti “equidistanti dai lati” richiede una definizione precisa di distanza tra un punto e una retta. Tra tutti i segmenti che congiungono il punto alla retta, il più corto è quello perpendicolare.

Definizione — Distanza punto-retta

La distanza di un punto $A$ da una retta $r$ è la lunghezza del segmento $AH$, dove $H$ è il piede della perpendicolare da $A$ a $r$.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Altezza · Distanza punto retta · Retta

Talking about points “equidistant from the sides” requires a precise definition of the distance between a point and a line. Among all the segments joining the point to the line, the shortest is the perpendicular one.

Definition — Point-line distance

The distance of a point $A$ from a line $r$ is the length of the segment $AH$, where $H$ is the foot of the perpendicular from $A$ to $r$.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Height · Point-line distance · Line

Dimostriamo una delle due implicazioni che caratterizzano l’asse come luogo geometrico: ogni punto equidistante dagli estremi appartiene all’asse.

Dimostrazione — Asse come luogo geometrico

Dimostriamo che se un punto $C$ è equidistante dagli estremi $A$ e $B$ di un segmento, allora $C$ appartiene all’asse di $AB$.

1. Ipotesi. $CA\cong CB$.
2. Costruzione. Sia $M$ il punto medio di $AB$. Congiungiamo $C$ con $M$.
3. Osservo. I triangoli $CMA$ e $CMB$ hanno: $CA\cong CB$ (ipotesi), $AM\cong MB$ (costruzione), $CM$ in comune.
4. Deduco. Per il III criterio (SSS): $\triangle CMA\cong\triangle CMB$.
5. Deduco. Dunque $\widehat{CMA}\cong\widehat{CMB}$. Ma sono anche supplementari ($\widehat{CMA}+\widehat{CMB}=\pi$), quindi $\widehat{CMA}=\widehat{CMB}=\dfrac{\pi}{2}$.
6. Deduco. Segue $CM\perp AB$ nel punto medio $M$: cioè $C$ sta sull’asse di $AB$.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Asse del segmento · Criteri congruenza · Dimostrazione · Luogo geometrico
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica

We prove one of the two implications that characterise the perpendicular bisector as a locus: every point equidistant from the endpoints lies on the perpendicular bisector.

Proof — The perpendicular bisector as a locus

We prove that if a point $C$ is equidistant from the endpoints $A$ and $B$ of a segment, then $C$ lies on the perpendicular bisector of $AB$.

1. Hypothesis. $CA\cong CB$.
2. Construction. Let $M$ be the midpoint of $AB$. Join $C$ to $M$.
3. Observe. The triangles $CMA$ and $CMB$ have: $CA\cong CB$ (hypothesis), $AM\cong MB$ (construction), $CM$ in common.
4. Deduce. By the third criterion (SSS): $\triangle CMA\cong\triangle CMB$.
5. Deduce. Hence $\widehat{CMA}\cong\widehat{CMB}$. But they are also supplementary ($\widehat{CMA}+\widehat{CMB}=\pi$), so $\widehat{CMA}=\widehat{CMB}=\dfrac{\pi}{2}$.
6. Deduce. It follows that $CM\perp AB$ at the midpoint $M$: that is, $C$ lies on the perpendicular bisector of $AB$.

$\blacksquare$

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Perpendicular bisector · Congruence criteria · Proof · Locus
Skills: Proving · Synthetic geometry

Caratterizzare un luogo geometrico richiede in realtà di dimostrare due implicazioni: quella diretta e quella inversa. Ma attenzione: non sempre l’inverso di un teorema è vero.

Osservazione — Teorema inverso

Il teorema inverso di “Se $a$ allora $b$” è “Se $b$ allora $a$”. Non tutti i teoremi hanno un inverso valido.

Esempio: “insegnante universitario $\implies$ laureato” è vero, ma “laureato $\implies$ insegnante universitario” è falso.

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Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Teorema inverso
Competenze: Dimostrare

Characterising a locus actually requires proving two implications: the direct one and the converse one. But beware: the converse of a theorem is not always true.

Remark — Converse theorem

The converse theorem of “If $a$ then $b$” is “If $b$ then $a$”. Not all theorems have a valid converse.

Example: “university lecturer $\implies$ graduate” is true, but “graduate $\implies$ university lecturer” is false.

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Topics: Euclidean geometry
Concepts: Proof · Converse theorem
Skills: Proving