Elementi e asintoti

Dall’equazione canonica si leggono tutti gli elementi caratteristici dell’iperbole: fuochi, vertici, eccentricità e soprattutto gli asintoti, le due rette a cui i rami della curva si avvicinano indefinitamente. La dimostrazione degli asintoti mostra perché, per $|x|$ grande, l’iperbole si confonde con le rette $y=\pm\frac{b}{a}x$.

• Fuochi, vertici, asintoti ed eccentricità
• Dimostrazione degli asintoti

From the canonical equation one reads off all the characteristic elements of the hyperbola: foci, vertices, eccentricity and above all the asymptotes, the two lines that the branches of the curve approach indefinitely. The proof of the asymptotes shows why, for large $|x|$, the hyperbola blends with the lines $y=\pm\frac{b}{a}x$.

• Foci, vertices, asymptotes and eccentricity
• Proof of the asymptotes

Dall’equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ si ricavano subito tutti gli elementi che servono a disegnare la curva.

Proprietà — Elementi dell'iperbole

Per l’iperbole $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$:

• Fuochi: $F_{1,2}(\mp c; 0)$ con $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Vertici: $V_{1,2}(\mp a; 0)$. Sull’asse $y$ non ci sono vertici: ponendo $x = 0$ l’equazione diventa $-\tfrac{y^2}{b^2} = 1$, impossibile.
• Asintoti: $y = \pm \tfrac{b}{a}\,x$, due rette passanti per l’origine a cui l’iperbole si avvicina indefinitamente.
• Eccentricità: $e = c/a$, con $e > 1$.

A differenza dell’ellisse, l’iperbole interseca solo uno dei due assi (quello su cui giacciono i fuochi) ed è formata da due rami distinti che si aprono verso l’esterno lungo gli asintoti.

Lettura: l’iperbole $\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{3}=1$ ha vertici $V_{1,2}(\mp 2;0)$, fuochi $F_{1,2}(\mp\sqrt{7};0)\approx(\mp 2{,}83;0)$ e asintoti $y=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}x$ (le due rette tratteggiate a cui i rami si avvicinano).

Nella simulazione seguente puoi variare i semiassi $a$ e $b$ e osservare come cambiano asintoti, fuochi ed eccentricità.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Eccentricita · Fuochi · Iperbole · Vertici
Funzioni: Iperbole
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico

From the canonical equation $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ one immediately obtains all the elements needed to draw the curve.

Property — Elements of the hyperbola

For the hyperbola $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$:

• Foci: $F_{1,2}(\mp c; 0)$ with $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Vertices: $V_{1,2}(\mp a; 0)$. On the $y$-axis there are no vertices: setting $x = 0$ the equation becomes $-\tfrac{y^2}{b^2} = 1$, which is impossible.
• Asymptotes: $y = \pm \tfrac{b}{a}\,x$, two lines through the origin which the hyperbola approaches indefinitely.
• Eccentricity: $e = c/a$, with $e > 1$.

Unlike the ellipse, the hyperbola meets only one of the two axes (the one on which the foci lie) and is made up of two distinct branches that open outwards along the asymptotes.

Reading: the hyperbola $\tfrac{x^2}{4}-\tfrac{y^2}{3}=1$ has vertices $V_{1,2}(\mp 2;0)$, foci $F_{1,2}(\mp\sqrt{7};0)\approx(\mp 2{,}83;0)$ and asymptotes $y=\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}x$ (the two dashed lines that the branches approach).

In the following simulation you can vary the semi-axes $a$ and $b$ and watch how the asymptotes, foci and eccentricity change.

Links

Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Asymptote · Eccentricity · Foci · Hyperbola · Vertices
Functions: Hyperbola
Skills: Analytic geometry · Sketching the graph

Perché le rette $y=\pm\frac{b}{a}x$ sono asintoti dell’iperbole? L’idea è confrontare l’ordinata della curva con quella della retta quando $x$ diventa molto grande.

Dimostrazione — Gli asintoti

Dalla forma canonica, isolando $y$: $y = \pm\,b\sqrt{\tfrac{x^2}{a^2} - 1} = \pm\,\tfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}.$ Per $|x|\to\infty$ si ha $\sqrt{x^2-a^2} = |x|\sqrt{1 - a^2/x^2}\to |x|,$ quindi $y \approx \pm \tfrac{b}{a}|x|$, cioè $y \approx \pm\tfrac{b}{a}x$ (l’uno o l’altro segno a seconda del ramo). Le rette $y = \pm\tfrac{b}{a}x$ sono dunque gli asintoti. ∎

In pratica, per valori grandi di $|x|$ il termine $a^2/x^2$ diventa trascurabile e la radice si comporta come $|x|$: la differenza tra la curva e la retta tende a zero.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Iperbole
Funzioni: Iperbole
Competenze: Analisi casi limite · Dimostrare

Why are the lines $y=\pm\frac{b}{a}x$ asymptotes of the hyperbola? The idea is to compare the $y$-coordinate of the curve with that of the line when $x$ becomes very large.

Proof — The asymptotes

From the canonical form, isolating $y$: $y = \pm\,b\sqrt{\tfrac{x^2}{a^2} - 1} = \pm\,\tfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}.$ For $|x|\to\infty$ one has $\sqrt{x^2-a^2} = |x|\sqrt{1 - a^2/x^2}\to |x|,$ so $y \approx \pm \tfrac{b}{a}|x|$, that is $y \approx \pm\tfrac{b}{a}x$ (one sign or the other depending on the branch). The lines $y = \pm\tfrac{b}{a}x$ are therefore the asymptotes. ∎

In practice, for large values of $|x|$ the term $a^2/x^2$ becomes negligible and the root behaves like $|x|$: the difference between the curve and the line tends to zero.

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Topics: Homographic hyperbola
Concepts: Asymptote · Hyperbola
Functions: Hyperbola
Skills: Limiting-case analysis · Proving