Teorema di Rolle

Il teorema di Rolle è il primo dei grandi teoremi del calcolo differenziale: se una funzione continua e derivabile parte e arriva alla stessa quota, da qualche parte in mezzo la sua tangente deve essere orizzontale. È il punto di partenza da cui, con una piccola inclinazione, si ricava il teorema di Lagrange.

• Il teorema di Rolle
• Dimostrazione del teorema di Rolle

Rolle’s theorem is the first of the great theorems of differential calculus: if a continuous and differentiable function starts and ends at the same height, somewhere in between its tangent must be horizontal. It is the starting point from which, with a small tilt, Lagrange’s theorem is obtained.

• Rolle’s theorem
• Proof of Rolle’s theorem

Il teorema di Rolle mette in relazione i valori che una funzione assume agli estremi di un intervallo con l’esistenza di un punto a tangente orizzontale al suo interno.

Teorema — Rolle

Se $f$ è continua su $[a,b]$, derivabile su $(a,b)$, e $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in(a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

Osservazione — Significato geometrico

Se la funzione parte e arriva alla stessa altezza ($f(a)=f(b)$), da qualche parte in mezzo deve avere una tangente orizzontale. È “ovvio” guardando il grafico, ma la dimostrazione richiede il teorema di Weierstrass.

Curva con $f(a)=f(b)$: nel punto $c$ (dove $x\approx 2{,}5$) la tangente è orizzontale, cioè $f'(c)=0$.

Esempio — Verifica delle ipotesi

Consideriamo $f(x) = x^2-4x+3$ su $[1,3]$.

Verifico le ipotesi: $f$ è un polinomio, quindi continua e derivabile ovunque ✓. Inoltre $f(1) = 1-4+3 = 0$ e $f(3) = 9-12+3 = 0$, dunque $f(a)=f(b)$ ✓.

Trovo $c$: impongo $f'(x) = 2x-4 = 0 \iff x = 2$. Verifica: $c=2\in(1,3)$ ✓.

Significato: nel punto $x=2$ il grafico ha tangente orizzontale (è il vertice della parabola).

Esplora il teorema nella simulazione: sposta il punto di prova lungo la curva e cerca dove la tangente diventa orizzontale.

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Derivata · Tangente · Teorema di rolle
Metodi: Rolle lagrange
Persone: Michel Rolle

Rolle’s theorem relates the values a function takes at the endpoints of an interval to the existence of a point with a horizontal tangent in its interior.

Theorem — Rolle

If $f$ is continuous on $[a,b]$, differentiable on $(a,b)$, and $f(a)=f(b)$, then there exists at least one point $c\in(a,b)$ such that $f'(c)=0$.

Remark — Geometric meaning

If the function starts and ends at the same height ($f(a)=f(b)$), somewhere in between it must have a horizontal tangent. It is “obvious” when looking at the graph, but the proof requires Weierstrass’s theorem.

Curve with $f(a)=f(b)$: at the point $c$ (where $x\approx 2{,}5$) the tangent is horizontal, that is $f'(c)=0$.

Example — Checking the hypotheses

Consider $f(x) = x^2-4x+3$ on $[1,3]$.

Checking the hypotheses: $f$ is a polynomial, hence continuous and differentiable everywhere ✓. Moreover $f(1) = 1-4+3 = 0$ and $f(3) = 9-12+3 = 0$, so $f(a)=f(b)$ ✓.

Finding $c$: we impose $f'(x) = 2x-4 = 0 \iff x = 2$. Check: $c=2\in(1,3)$ ✓.

Meaning: at the point $x=2$ the graph has a horizontal tangent (it is the vertex of the parabola).

Explore the theorem in the simulation: move the test point along the curve and look for where the tangent becomes horizontal.

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Topics: Theorems of calculus
Concepts: Derivative · Tangent · Rolle’s theorem
Methods: Rolle Lagrange
People: Michel Rolle

La dimostrazione del teorema di Rolle poggia sul teorema di Weierstrass, che garantisce l’esistenza di massimo e minimo assoluti per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.

Dimostrazione

Per Weierstrass, $f$ continua su $[a,b]$ ammette massimo $M$ e minimo $m$. Se $M=m$, $f$ è costante e $f'(c)=0$ per ogni $c$. Altrimenti, almeno uno tra $M$ e $m$ è raggiunto in un punto interno $c\in(a,b)$: infatti, poiché $f(a)=f(b)$, se il massimo fosse raggiunto solo agli estremi si avrebbe $M=f(a)=f(b)=m$, contraddizione. In $c$ la derivata si annulla, perché l’annullarsi della derivata è condizione necessaria per un estremo interno. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Teorema di rolle · Teorema di weierstrass
Competenze: Dimostrare
Persone: Michel Rolle · Karl Weierstrass

The proof of Rolle’s theorem rests on Weierstrass’s theorem, which guarantees the existence of an absolute maximum and minimum for a continuous function on a closed and bounded interval.

Proof

By Weierstrass, $f$ continuous on $[a,b]$ admits a maximum $M$ and a minimum $m$. If $M=m$, $f$ is constant and $f'(c)=0$ for every $c$. Otherwise, at least one of $M$ and $m$ is attained at an interior point $c\in(a,b)$: indeed, since $f(a)=f(b)$, if the maximum were attained only at the endpoints we would have $M=f(a)=f(b)=m$, a contradiction. At $c$ the derivative vanishes, because the vanishing of the derivative is a necessary condition for an interior extremum. $\blacksquare$

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Topics: Calculus theorems
Concepts: Rolle’s theorem · Weierstrass’s theorem
Skills: Proving
People: Michel Rolle · Karl Weierstrass